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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2806 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 10:52: |
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Hi allerseits Als Aufgabe LF 61 ist eine komplexe Zahl gesucht. Man ermittle Real- und Imaginärteil von w = arcsin(2) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 656 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 15:01: |
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Hallo , allgemein sei z= x+yi, w = u+vi. Dann gilt arcsin z = w <==> sin w = z <==> (1) sin u cosh v = x & (2) cos u sinh v = y woraus übrigens durch Elimination von v für x := cos u die biquadratische Gleichung x4 + (|z|2-1)x2-y2=0 entsteht. Ist y=0, so arbeiten wir direkt mit (1),(2): 1. sinh v = 0 ==> v=0 & sin u = x . Wenn |x|>1, so ist das ein Widerspruch. 2.O.B.d.A. sei x>1. cos u = 0 ==> u= (2n+1)p/2. Wegen cosh v >= 1 muss n gerade sein , n=2k. Also w = p/2 + 2kp+i*ln[x+(x2-1)1/2]
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2809 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 15:49: |
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Hi Orion, Bravo und Danke ! MfG H.R.Moser,megamath |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 736 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 22:11: |
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Mhhm, mit dem Ergebnis (und dies noch dazu in einer Hilfsvariablen (x) und leider nicht explizit) kann ich mich nicht wirklich anfreunden ... ob's stimmt, will ich an dieser Stelle nicht untersuchen, sondern euch meinen Lösungsweg (für den Hauptwert) vorführen: arcsin(2) = w «-» sin(w) = 2, cos(w) = i*sqrt(3) damit ist nach Euler: [e^(i*w) = cos(w) + i*sin(w)] e^(i*w) = -i*sqrt(3) + 2i e^(i*w) = i*(2 - sqrt(3)) i*w = ln(i) + ln(2 - sqrt(3)) -> w = pi/2 - j*ln(2 - sqrt(3)) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Und DAS war's schon! Die PROBE ist interessant - sie erfordert allerdings einige Formelkenntnisse: sin(pi/2 - i*ln(2 - sqrt(3)) = = cos(i*ln(2 - sqrt(3))) = [nach cosh(x) = cos(ix) erfolgt] = cosh(ln(2 - sqrt(3)))= [wegen e^(ln(a)) = a] = [2 - sqrt(3) + 1/(2 - sqrt(3)] = [2 - sqrt(3) + 2 + sqrt(3)]/2 = = 4/2 = 2 °°°°°°°°°° Gr mYthos
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 658 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 08:49: |
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mythos, Es ist beruhigend, dass unsere Resultate für x=2 übereinstimmen (ln(2-sqrt(3))= - ln(2+sqrt(3)). Kurioserweise gibt MAPLE übrigens für arcsin(2) den numerischen Wert von p/2 - i*ln(2+sqrt(3)) zurück. In der Tat sollte in meiner Schlussformel - wenn sie alle möglichen Werte berücksichtigen will - korrekt vor dem Imaginärteit ein ± stehen. Denn cosh v = x hat 2 Lösungen: v1=ln(x+sqrt(x2-1)) und v2= ln(x-sqrt(x2-1))= - v1. mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2811 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 09:00: |
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Hi Mythos, Na wusch ! Kein Grund für Alarm! In meinem Manuskript erkenne ich Deinen eigenen Rechengang; ergo ist alles ok. MfG Hans Rudolf |