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Lockere Folge 61 : arcsin2

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2806
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 10:52:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Als Aufgabe LF 61 ist eine komplexe Zahl gesucht.
Man ermittle Real- und Imaginärteil von
w = arcsin(2)

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 656
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 15:01:   Beitrag drucken

Hallo ,

allgemein sei z= x+yi, w = u+vi.

Dann gilt arcsin z = w <==> sin w = z <==>

(1) sin u cosh v = x & (2) cos u sinh v = y

woraus übrigens durch Elimination von v für x := cos u die biquadratische Gleichung

x4 + (|z|2-1)x2-y2=0

entsteht. Ist y=0, so arbeiten wir direkt mit (1),(2):

1. sinh v = 0 ==> v=0 & sin u = x . Wenn |x|>1, so
ist das ein Widerspruch.
2.O.B.d.A. sei x>1. cos u = 0 ==> u= (2n+1)p/2. Wegen cosh v >= 1 muss n gerade sein , n=2k. Also

w = p/2 + 2kp+i*ln[x+(x2-1)1/2]




mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2809
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 15:49:   Beitrag drucken

Hi Orion,


Bravo und Danke !

MfG
H.R.Moser,megamath
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 736
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 22:11:   Beitrag drucken

Mhhm, mit dem Ergebnis (und dies noch dazu in einer Hilfsvariablen (x) und leider nicht explizit) kann ich mich nicht wirklich anfreunden ... ob's stimmt, will ich an dieser Stelle nicht untersuchen, sondern euch meinen Lösungsweg (für den Hauptwert) vorführen:

arcsin(2) = w «-» sin(w) = 2, cos(w) = i*sqrt(3)
damit ist nach Euler:
[e^(i*w) = cos(w) + i*sin(w)]

e^(i*w) = -i*sqrt(3) + 2i
e^(i*w) = i*(2 - sqrt(3))
i*w = ln(i) + ln(2 - sqrt(3))
->
w = pi/2 - j*ln(2 - sqrt(3))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Und DAS war's schon!

Die PROBE ist interessant - sie erfordert allerdings einige Formelkenntnisse:

sin(pi/2 - i*ln(2 - sqrt(3)) =
= cos(i*ln(2 - sqrt(3))) =

[nach cosh(x) = cos(ix) erfolgt]
= cosh(ln(2 - sqrt(3)))=

[wegen e^(ln(a)) = a]
= [2 - sqrt(3) + 1/(2 - sqrt(3)]

= [2 - sqrt(3) + 2 + sqrt(3)]/2 =
= 4/2 = 2
°°°°°°°°°°

Gr
mYthos
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 658
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 08:49:   Beitrag drucken

mythos,

Es ist beruhigend, dass unsere Resultate für x=2
übereinstimmen (ln(2-sqrt(3))= - ln(2+sqrt(3)).
Kurioserweise gibt MAPLE übrigens für arcsin(2)
den numerischen Wert von p/2 - i*ln(2+sqrt(3))
zurück. In der Tat sollte in meiner Schlussformel - wenn sie alle möglichen Werte berücksichtigen will -
korrekt vor dem Imaginärteit ein ± stehen.
Denn cosh v = x hat 2 Lösungen:
v1=ln(x+sqrt(x2-1)) und
v2= ln(x-sqrt(x2-1))= - v1.



mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2811
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 09:00:   Beitrag drucken

Hi Mythos,

Na wusch !
Kein Grund für Alarm!
In meinem Manuskript erkenne ich Deinen
eigenen Rechengang; ergo ist alles ok.

MfG
Hans Rudolf

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