| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2795
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 12:32: | 
|
Hi allerseits
Die Aufgabe LF 60 ist wiederum dem Gebiet der
komplexen Zahlen entnommen und gelte als eine
Fortsetzung der Aufgaben LF 58 und LF 59.
Bei der neuen Aufgabe kommt jedoch der Arcussinus
an Stelle des Areasinus zum Zug.
Sie lautet:
Man berechne für die komplexe Zahl z = e ^ (i Pi/6)
den Realteil C = Re(w) und den Imaginärteil D = Im(w)
von w = arcsin (z).
Man vergleiche diese Werte mit den in LF 59 am
Schluss berechneten Werten
A = Re(w), B = Im (w) für
w = arsinh [e ^ (i Pi/3)]
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2801
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Oktober, 2003 - 19:30: |
|
Hi allerseits
Hinweis:
Man verwende die Relation
arcsin (z) = - i ln ( i z + sqrt (1 – z^2)) und
bestimme so den gesuchten Haupwert.
Mit freundlichen Grüßen
M.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2804
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Oktober, 2003 - 19:52: |
|
Hi
Das Ergebnis der Aufgabe LF 60 lautet so:
w = arcsin [e ^ (i Pi/6) ] = ¼ Pi + i ½ ln (2 + sqrt(3))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Interessant ist der Bezug auf
w* = arsinh [e ^ (i Pi/3) ] = ½ ln (2 + sqrt(3)) + i ¼ Pi
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
wie wir in LF 59 gezeigt haben.
Bitte nachrechnen!
Gesucht:
Direkter Nachweis der Relationen
Re(w*) = Im(w)
Im(w*) = Re(w)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megaamth
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2805
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 10:34: |
|
Hi allerseits,
Ich bin von zwei Teilnehmern des Forums gebeten worden,
die erwähnte Formel für arcsin (z) herzuleiten.
Gemeint ist die Beziehung
arcsin (z) = - i ln ( i z + sqrt (1 – z^2)) .
Ferner möge die Relation
arcsin [e ^ (i Pi/6) ] = ¼ Pi + i ½ ln (2 + sqrt(3))
im Détaill hergeleitet werden.
Diesen Wünschen entspreche ich gerne.
Zur ersten Frage:
Ausgangspunkt ist die Aufgabe:
Man berechne für z € C
aus w = arcsin z die komplexe Zahl z = z(w).
Das geht so:
z = sin w = {e^(iw) - e^(-iw)} / (2i),
mit e^ (iw) = m kommt die quadratische Gleichung in m:
m^2 – 2 i z m – 1 = 0
Lösungen:
m1 = iz + sqrt(1-z^2)
m2 = iz - sqrt(1-z^2)
Weil für z = 0 w = 0, d.h. m = 1 gelten muss,
ist m2 irrelevant.
Somit: m = m1 = iz + sqrt(1-z^2);
Daraus entspringt:
i w = ln ( i z + sqrt (1 – z^2)), schliesslich
w = - i ln ( i z + sqrt (1 – z^2))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2807
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 11:28: |
|
Hi allerseits,
Es folgt die Herleitung der Beziehung
arcsin [e ^ (i Pi/6) ] = ¼ Pi + i ½ ln (2 + sqrt(3))
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
z = e^(i Pi/6) = cos 30° + i sin 30° = ½ sqrt(3) + i ½
z^2 = e^(i Pi/3) = cos 60° + i sin 60° = ½ + i ½ sqrt(3)
1 – z^2 = ½ - i ½ sqrt(3)
Absoluter Betrag R von 1 – z^2: R = 1
Argument von PHI von 1 – z^2 : PHI = - 60° (!), somit
sqrt(1 – z^2) = cos (-30°) + i sin (-30°) = ½ sqrt(3) - i ½
i z + sqrt (1 – z^2) = ½ (sqrt(3) - 1)+ i ½ (sqrt(3) - 1)
Betrag dieser Zahl: sqrt [2 – sqrt(3)]
Argument: ¼ Pi
Wenn wir mit ln logarithmieren und
Alles noch mit – i multiplizieren, so erhalten wir das
angegebene Schlussresultat.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
