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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2781
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 20:28: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 59 ist dem Gebiet der komplexen Zahlen
entnommen und bezieht sich auf die Aufagabe LF 58
Sie lautet
Man berechne für die komplexe Zahl z = e ^ (i phi)
den Realteil Re(w) und den Imaginärteil Im(w) von
w =ln [z + sqrt (z^2 + 1)]
Re(w) und Im(w) sind als Funktionen von phi auszudrücken.
Es genügt, eine einzige Lösung im Détail zu bearbeiten,
phi = ½ Pi ist auszuschliessen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2790
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Oktober, 2003 - 16:49: |
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Hi allerseits,
Es folgt meine Lösung der Aufgabe
LF 59.
Immer noch gelte die Voraussetzung:
für z = e ^ (i phi) sei 0 < phi < ½ Pi.
Ergebnis der Aufgabe LF 58 bezüglich
sqrt (z^2+1):
Betrag R = sqrt (2 * cos(phi))
Argument psi = ½ phi
Mit diesen Werten arbeiten wir weiter, um
W = z + sqrt (z^2 + 1) = r * e^ (i t)
und schliesslich
w = ln [z + sqrt (z^2 + 1)] zu berechnen.
Zu bestimmen sind der Realteil A= Re(w)
und der Imaginärteil B = Im (w).
Bekanntlich gilt mit W = r e^ (i t) :
w = ln W = ln r + i t, also
A = ln r, B = t………………………………………..(I)
Berechnungen
W = z + sqrt (z^2 + 1) =
[cos(phi) + sqrt{2*cos(phi)} cos(½ phi)] +
i [sin(phi) + sqrt{2*cos(phi)} sin(½ phi)]
Indem man Real- und Imaginärteil von W quadriert
und addiert,
erhält man die Norm r ^ 2 von W:
r ^ 2 = 1 + 2 cos(phi) + 2 sqrt [2 cos(phi)] * cos(½ phi)
Der letzte Faktor cos (½ phi) entsteht bei
der Anwendung des Subtraktionstheorems des Kosinus
auf den Term
cos(phi) cos(½ phi) + sin(phi) sin(½ phi).
Damit erhalten wir
A= ln r =
½ ln [1+2cos(phi)+2 sqrt [2 cos(phi)] * cos(½ phi)]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Den Imaginärteil B = t erhalten wir aus der
Beziehung
tan t = V / U mit
V = sin(phi) + sqrt{2*cos(phi)} sin(½ phi)
U = cos(phi) + sqrt{2*cos(phi)} cos(½ phi)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2791
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Oktober, 2003 - 17:13: |
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Hi allerseits
An einem numerischen Beispiel soll die in meiner
Lösung der Aufgabe LF 59 erarbeitete Formel
überprüft werden.
Sei z = e ^ (i Pi/4) `= ½ sqrt(2) (1 + i1)
Dann gilt näherungsweise nach Maple:
arsinh (z) ~ 0,764285 + i 0,571859
Anwendung der hergeleiteten Formel:
Der Reihe nach erhalten wir mit phi = ¼ Pi:
cos(phi) = ½ sqrt(2)
cos(phi/2) = ½ sqrt [2 + sqrt(2)]
A = ½ ln [1+2cos(phi)+2 sqrt [2 cos(phi)] * cos(½ phi)]
~ 0,764285 wie soeben
mit
V = sin(phi) + sqrt{2*cos(phi)} sin(½ phi) ~ 1,1622
U = cos(phi) + sqrt{2*cos(phi)} cos(½ phi) ~ 1,8058
Kommt
B = arc tan (U/V) ~0,57186
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2792
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Oktober, 2003 - 09:26: |
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Hi allerseits
An einem noch schöneren numerischen Beispiel
soll die in meiner Lösung der Aufgabe LF 59
erarbeitete Formel überprüft werden.
Sei z = e ^ (i Pi/3) = ½ (1 + i sqrt(3))
Dann gilt näherungsweise nach Maple:
arsinh (z) ~ 0,6584789 + i 0,7853982
Anwendung der hergeleiteten Formel:
Der Reihe nach erhalten wir mit phi = Pi/3 :
cos(phi) = ½
cos(phi/2) = ½ sqrt (3)
A = ½ ln [1+2cos(phi)+2 sqrt [2 cos(phi)] * cos(½ phi)]
= ½ ln(2+sqrt(3)) ~ 0,6584789, wie soeben;
mit
V = sin(phi) + sqrt{2*cos(phi)} sin(½ phi) = ½+ ½ sqrt(3)
U = cos(phi) + sqrt{2*cos(phi)} cos(½ phi) = ½+ ½ sqrt(3)
kommt
B = arc tan (U/V) = Pi/4 ~ 0,7853982 , wie oben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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