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Lockere Folge 59 : Komplexe Zahl, Rea...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2781
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 20:28:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Aufgabe LF 59 ist dem Gebiet der komplexen Zahlen
entnommen und bezieht sich auf die Aufagabe LF 58

Sie lautet
Man berechne für die komplexe Zahl z = e ^ (i phi)
den Realteil Re(w) und den Imaginärteil Im(w) von
w =ln [z + sqrt (z^2 + 1)]
Re(w) und Im(w) sind als Funktionen von phi auszudrücken.
Es genügt, eine einzige Lösung im Détail zu bearbeiten,
phi = ½ Pi ist auszuschliessen.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2790
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. Oktober, 2003 - 16:49:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Es folgt meine Lösung der Aufgabe
LF 59.
Immer noch gelte die Voraussetzung:
für z = e ^ (i phi) sei 0 < phi < ½ Pi.

Ergebnis der Aufgabe LF 58 bezüglich
sqrt (z^2+1):
Betrag R = sqrt (2 * cos(phi))
Argument psi = ½ phi

Mit diesen Werten arbeiten wir weiter, um
W = z + sqrt (z^2 + 1) = r * e^ (i t)
und schliesslich
w = ln [z + sqrt (z^2 + 1)] zu berechnen.

Zu bestimmen sind der Realteil A= Re(w)
und der Imaginärteil B = Im (w).

Bekanntlich gilt mit W = r e^ (i t) :
w = ln W = ln r + i t, also
A = ln r, B = t………………………………………..(I)

Berechnungen

W = z + sqrt (z^2 + 1) =
[cos(phi) + sqrt{2*cos(phi)} cos(½ phi)] +
i [sin(phi) + sqrt{2*cos(phi)} sin(½ phi)]

Indem man Real- und Imaginärteil von W quadriert
und addiert,
erhält man die Norm r ^ 2 von W:
r ^ 2 = 1 + 2 cos(phi) + 2 sqrt [2 cos(phi)] * cos(½ phi)
Der letzte Faktor cos (½ phi) entsteht bei
der Anwendung des Subtraktionstheorems des Kosinus
auf den Term
cos(phi) cos(½ phi) + sin(phi) sin(½ phi).
Damit erhalten wir
A= ln r =
½ ln [1+2cos(phi)+2 sqrt [2 cos(phi)] * cos(½ phi)]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Den Imaginärteil B = t erhalten wir aus der
Beziehung

tan t = V / U mit

V = sin(phi) + sqrt{2*cos(phi)} sin(½ phi)
U = cos(phi) + sqrt{2*cos(phi)} cos(½ phi)

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.


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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2791
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. Oktober, 2003 - 17:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits

An einem numerischen Beispiel soll die in meiner
Lösung der Aufgabe LF 59 erarbeitete Formel
überprüft werden.
Sei z = e ^ (i Pi/4) `= ½ sqrt(2) (1 + i1)
Dann gilt näherungsweise nach Maple:
arsinh (z) ~ 0,764285 + i 0,571859

Anwendung der hergeleiteten Formel:
Der Reihe nach erhalten wir mit phi = ¼ Pi:
cos(phi) = ½ sqrt(2)
cos(phi/2) = ½ sqrt [2 + sqrt(2)]
A = ½ ln [1+2cos(phi)+2 sqrt [2 cos(phi)] * cos(½ phi)]
~ 0,764285 wie soeben
mit
V = sin(phi) + sqrt{2*cos(phi)} sin(½ phi) ~ 1,1622
U = cos(phi) + sqrt{2*cos(phi)} cos(½ phi) ~ 1,8058
Kommt
B = arc tan (U/V) ~0,57186

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2792
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Oktober, 2003 - 09:26:   Beitrag drucken

Hi allerseits

An einem noch schöneren numerischen Beispiel
soll die in meiner Lösung der Aufgabe LF 59
erarbeitete Formel überprüft werden.
Sei z = e ^ (i Pi/3) = ½ (1 + i sqrt(3))
Dann gilt näherungsweise nach Maple:
arsinh (z) ~ 0,6584789 + i 0,7853982

Anwendung der hergeleiteten Formel:
Der Reihe nach erhalten wir mit phi = Pi/3 :
cos(phi) = ½
cos(phi/2) = ½ sqrt (3)
A = ½ ln [1+2cos(phi)+2 sqrt [2 cos(phi)] * cos(½ phi)]
= ½ ln(2+sqrt(3)) ~ 0,6584789, wie soeben;
mit
V = sin(phi) + sqrt{2*cos(phi)} sin(½ phi) = ½+ ½ sqrt(3)
U = cos(phi) + sqrt{2*cos(phi)} cos(½ phi) = ½+ ½ sqrt(3)
kommt
B = arc tan (U/V) = Pi/4 ~ 0,7853982 , wie oben.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath

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