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Wie kann ich diesen Wurzel 5 beweisen?

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Peterfrank (Peterfrank)
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Benutzername: Peterfrank

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 09:48:   Beitrag drucken

Hallo!

Ich hänge schon seit einigen Stunden an einer Aufgabe. Und zwar, wie kann ich beweisen, dass eine irrationale Zahl ist.

Als Hinweis ist noch gegeben, die Annahme
(d.h. rationale Zahl mit m,n Element N und teilerfremd) muß zum Widerspruch geführt werden.

Hat jemand ne Ahnung? Bin verzweifelt...

Danke für Eure Hilfe

Peter
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 265
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 10:54:   Beitrag drucken

Hi,

m/n=sqrt(5)

(m/n)2=5

m2/n2=5

m2=5n2

=>

m2=5u => m=5x

(5u)2=5n2

25u2=5n2

5u2=n2

=> n2=5v => n=5y

Also:

5x/(5y)=sqrt(5)

=> Widerspruch zur Annahme,daß der m und n teilerfremd sind!


Gruß,Olaf
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Peterfrank (Peterfrank)
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Neues Mitglied
Benutzername: Peterfrank

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 11:06:   Beitrag drucken

hey, danke für die Hilfe. Aber was bdeutet sqrt?
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Peterfrank (Peterfrank)
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Benutzername: Peterfrank

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 11:10:   Beitrag drucken

Hab gerade gesehen, das bei der Annahme etwas fehlt. Beeinflusst es das Ergebnis?

Nachtrag:
Als Hinweis ist noch gegeben, die Annahme `Wurzel 5 = m/n (d.h. rationale Zahl mit m,n Element N und teilerfremd) muß zum Widerspruch geführt werden.
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Georg (Georg)
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Benutzername: Georg

Nummer des Beitrags: 272
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 11:14:   Beitrag drucken

sqrt = square root = Quadratwurzel oder kurz Wurzel
www.georgsimon.de
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Peterfrank (Peterfrank)
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Benutzername: Peterfrank

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 11:41:   Beitrag drucken

Noch ne Frage...

Wie kommt man auf die Variablen u,v, y?
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 266
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 13:13:   Beitrag drucken

Hi Peterfrank,

Die Variablen kannst Du beliebig wählen.Es geht nur darum,m2 bzw. m als ein Vielfaches von 5 darzustellen.Hier muß man zwischen den Variablen natürlich unterscheiden,denn z.B. ist
mit m=5:

52=5*5

5=5*1


Gruß,Olaf
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Peterfrank (Peterfrank)
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Benutzername: Peterfrank

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 14:45:   Beitrag drucken

Wiederspruchsbeweis:

Annahme: Wurzel 5 sei eine rationale Zahl

Beweis:

Wurzel 5 = m/n /²

5 = (m/n)²

5 ist eine Quadratzahl, d.h. sich als Quadratzahl schreiben lässt. Dies ist ein Widerspruch da 5 eine Primzahl ist und keine Quadratzahl. Die Annahme ist also falsch und Wurzel 5 ist eine irrationale Zahl Q element d.

Kann ich das auch so als Lösung schreiben oder muss ich noch was beachten? Gibt da Probleme mit dem gegebenen Hinweis?
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 267
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 16:13:   Beitrag drucken

Hi,

Es gilt:

Ist eine natürliche Zahl n nicht Quadratzahl einer NATÜRLICHEN Zahl,dann ist sqrt(n)
irrational.

Das stimmt,aber das war nicht der laut Aufgabenstellung gefragte Beweis.
Du mußt Dich halt für einen Beweis entscheiden,nicht beide vermischen...


Gruß,Olaf
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Peterfrank (Peterfrank)
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Junior Mitglied
Benutzername: Peterfrank

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 16:24:   Beitrag drucken

Oh,schade...
Kannst du mir dann nochmal deinen Beweis etwas genauer beschreiben, bin etwas langsam in der auffassung.... sorry

Trotzdem schon mal vielen Dank...
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 268
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Oktober, 2003 - 17:38:   Beitrag drucken

Hi Peterfrank,

Es gibt nichts zu entschuldigen,das ist auch meiner Meinung nach nicht so einfach zu
verstehen.Der Beweis,daß sqrt(2) irrational ist,ist ein Standardbeweis.Die Beweise
für sqrt(3) und sqrt(5) laufen vom Prinzip her gleich ab.
Schau Dir dies mal an:

http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/9/wurzel2irrational.htm

Wenn Du das nachvollzogen hast (mußt Du sowieso auch können),dürfte es keine Probleme mehr geben...


Gruß,Olaf

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