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Gleichung mit Fibonaccizahlen

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Mira13 (Mira13)
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Benutzername: Mira13

Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 18:25:   Beitrag drucken

Hallo,

Ich soll die folgende Formel mit
vollständiger Induktion beweisen.
Ich komme aber beim besten Willen zu keinem Ziel.

Ich möchte daher um Hilfe bitten .
Die Relation betrifft die Fibonaccizahlen und lautet:

f(2n) = f(n) * {f(n-1) + f(n+1)} für n > = 1
wobei f(0) = 0 , f(1) = 1
f(n) = f(n-1) +f(n-2) für n > = 2.

Für jede Hilfe bin ich dankbar

Mit freundlichen Grüßen
Mira
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 779
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 21:59:   Beitrag drucken

Hi!

Fangen wir mal mit dem Induktionsanfang an. Hier sind zwei Fälle zu betrachten. Mit der Null kann man wegen dem (n-1) nicht anfangen. Also:

n=1:
f(2n) = f(2*1) = f(2) = 1 = 1*(0+1) = f(1)*(f(0)+f(2)) = f(n)*(f(n-1) + f(n+1))

n=2:
f(2n) = f(2*2) = f(4) = 3 = 1*(1+2) = f(2)*(f(1) + f(3)) = f(n)*(f(n-1) + f(n+1))


Induktionsvoraussetzung:
für m=n und m=n+1 gilt:
f(2m) = f(m) * {f(m-1) + f(m+1)}


Induktionsschluss:
f(2(n+2)) = f(2n+4)
= f(2n+2) + f(2n+3) (Definition)
= f(2(n+1)) + f(2n+1) + f(2n+2) (Def.)
= 2*f(2(n+1)) + f(2n+1)
= 2*f(2(n+1)) + f(2n+2) - f(2n)
= 3*f(2(n+1)) - f(2n)
= 3*f(n+1)*{f(n) + f(n+2)} - f(n)*{f(n-1) + f(n+1)}
= 3*f(n)*f(n+1) + 3*f(n+1)*f(n+2) - f(n)*f(n-1) - f(n)*f(n+1)
= f(n)*f(n+1) + 3*f(n+1)*f(n+2) + f(n)(f(n+1)-f(n-1))
= f(n)*f(n+1) + 3*f(n+1)*f(n+2) + f(n)*f(n)
= f(n)*(f(n)+f(n+1)) + 3*f(n+1)*f(n+2)
= f(n)*f(n+2) + 3*f(n+1)*f(n+2)
= f(n+2)*[f(n)+f(n+1)+f(n+1)+f(n+1)]
= f(n+2)*[f(n+1)+f(n+1)+f(n+2)]
= f(n+2)*[f(n+1)+f(n+3)] q.e.d.


Etwas länglich und ohne Erklärungen, aber die kann ich morgen nachliefern, wenn du Fragen hast.


MfG
Martin
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2754
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Oktober, 2003 - 11:20:   Beitrag drucken

Hi Mira,

Deine Aufgabe kann auch dadurch gelöst werden, dass wir sie
auf eine bereits gelöste zurückführen, nach dem Prinzip, den
Hut von einem Haken an den andern zu hängen.
Das ist eine recht wirksame und auch ökonomische Methode.
Das geht so:
Als zentrale Formel dient uns die am letzten Samstag von Orion
mit vollständiger Induktion bewiesene Relation
f(n+m) = f(n-1)*f(m) +f(n)*f(m+1)
m > = 0, n > = 1
Setzen wir darin n = m, so kommt
f(2n) =f(n-1)*f(n) +f(n)*f(n+1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Das ist aber genau die von Dir vorgelegte Formel.
Damit ist der Fall erledigt.

Gelegentlich formt man die rechte Seite R(n) um.
Nach der Rekursionsvorschrift f(n+1) = f(n) + f(n-1) gilt:
f(n) = f(n+1) - f(n-1), somit
R(n) = {f(n + 1) - f( n - 1)} {f( n +1) + f( n - 1)}
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2759
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Oktober, 2003 - 13:46:   Beitrag drucken

Hi Martin

Zu Deiner Lösung der Aufgabe von Mira
möchte ich Dir gerne noch zwei Fragen stellen.

1.
Geht die Verankerung nicht einfacher, in dem man
bloss n = 1 setzt ?
Dann kommt:
f(2) = f(1) [f(0) + f(2) ) = 1 [ 0 + 1 ] = 1,
was offensichtlich stimmt.

2.
Die erste Zeile nach „Induktionsschluss“
verstehe ich nicht.
Sollte nicht der Schluss von n auf n+1
vollzogen werden,
also mit f(2(n+1)) = f(2n+2) statt mit f(2n + 4 )
begonnen werden?

Vielleicht kann uns Jemand helfen und die
Angelegenheit zu einem guten Ende führen!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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