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Stella234 (Stella234)
Neues Mitglied
Benutzername: Stella234
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 07:09: | 
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Hallo!
Es ist zu zeigen:
Summe [(-1)^(k-1)*k] = ¼ [1 + (-1)^(n-1)*(2n+1)],
für k von 1 bis n.
1. mittels Vollständiger Induktion
2. durch Aufsummieren einer arithmetischen Progression (Fallunterscheidung!)
3. mit der Teleskop-Methode
wobei mir die erste Methode keine Schwierigkeiten macht, aber die beiden anderen.
Kann mir bitte jemand helfen?
liebe Grüße
stella
in der Überschrift muss es TELESKOP-Summe heißen!
(Beitrag nachträglich am 05., Oktober. 2003 von stella234 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2746
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 09:38: |
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Hi Stella,
Ich zeige Dir die Lösung mit der zweiten Methode.
Erster Fall: n ist gerade
setze n = 2 m ; m positiv ganz
Das Resultat S wird nach Deinen Angaben sein:
S = ¼ [1 – (4m + 1) ] = - m
Dieses Resultat bekommen wir durch die Summation
zweier arithmetischer Reihen .
Die Summe einer solchen Reihe bekommst Du so:
Sum = ½ (Anfangsglied + Schlussglied) * Gliederzahl
hihi.
Erste Reihe:
Summe S1 der m positiven Glieder:
1 + 3 + 5 +……+(2m – 1) = ½ [1 + (2m-1)] * m = m^2
Zweite Reihe:
Summe S2 der m negativen Glieder
- 2 - 4 - 6 -……- 2m = - ½ [2 + 2m] * m = - m^2 – m
Die Addition dieser Teilsummen ergibt:
S* = S1 + S2 = - m, wie es sein muss: S * = S
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2747
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 10:11: |
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Hi Stella
In der Fortsetzung nach der Methode 2
soll der zweite Fall behandelt werden.
Zweiter Fall: n ist ungerade
setze n = 2 m - 1 ; m positiv ganz
Das Resultat S wird nach Deinen Angaben sein:
S = ¼ [1 + (4m - 1) ] = m
Beachte: es taucht der Faktor (-1)^{2m-2} auf ;
da der Exponent von (-1) gerade ist, ist der Faktor
selbst 1, hihi.
Dieses Resultat bekommen wir durch die Summation
zweier arithmetischer Reihen wie im ersten Fall.
Erste Reihe:
Summe S1 der m positiven Glieder:
1 + 3 + 5 +……+(2m – 1) = ½ [1 + (2m-1)] * m = m^2
Zweite Reihe:
Summe S2 der (m – 1) negativen Glieder
- 2 - 4 - 6 -……- (2m-2) = - ½ [2+(2m-2)]*(m-1) = - m^2 +m
Die Addition dieser Teilsummen ergibt:
S* = S1 + S2 = m, wie es sein muss: S * = S
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 23:48: |
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3) Teleskopsumme
Ziel ist, die Summanden k als Differenz darzustellen:
(k+1)2 - (k-1)2 = (k2+2k+1) - (k2-2k+1) = 4k
(1/4)(k+1)2 - (1/4)(k-1)2 = k
Setzen wir das ein in
1 - 2 + 3 - 4 + ... + (-1)n-2(n-1) + (-1)n-1n
erhalten wir
[(1/4)22 - (1/4)02] - [(1/4)32 - (1/4)12] +
[(1/4)42 - (1/4)22] - [(1/4)52 - (1/4)32] + ... +
(-1)n-2*[n2 - (n-2)2] + (-1)n-1[(1/4)(n+1)2 - (1/4)(n-1)2]
22 und 32 heben sich weg, genauso 42, 52, ... mit späteren Termen. Vorne bleiben nur die beiden "niedrigsten Quadrate" stehen:
- (1/4)02 + (1/4)12 = 1/4
Analog bleiben am Schluss nur die beiden höchsten Quadrate stehen (die niedrigeren Quadrate heben sich mit Termen auf, die weiter vorne stehen):
(-1)n-2(1/4)n2 + (-1)n-1(1/4)(n+1)2 =
(-1)n-1(1/4)[(-1)n2 + (n+1)2] =
(1/4)(-1)n-1[2n + 1]
Berücksichtigt man jetzt noch die 1/4, die am Anfang stehenbleiben, hat man insgesamt:
(1/4)(1 + (-1)n-1[2n + 1])
werbungsfriedhof@hotmail.com |
Stella234 (Stella234)
Junior Mitglied
Benutzername: Stella234
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 04:55: |
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herzlichen Dank für eure Hilfe,
ich werde mir das heute genau anschauen!
stella |
