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Stella234 (Stella234)
Neues Mitglied Benutzername: Stella234
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 07:09: |
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Hallo! Es ist zu zeigen: Summe [(-1)^(k-1)*k] = ¼ [1 + (-1)^(n-1)*(2n+1)], für k von 1 bis n. 1. mittels Vollständiger Induktion 2. durch Aufsummieren einer arithmetischen Progression (Fallunterscheidung!) 3. mit der Teleskop-Methode wobei mir die erste Methode keine Schwierigkeiten macht, aber die beiden anderen. Kann mir bitte jemand helfen? liebe Grüße stella in der Überschrift muss es TELESKOP-Summe heißen! (Beitrag nachträglich am 05., Oktober. 2003 von stella234 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2746 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 09:38: |
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Hi Stella, Ich zeige Dir die Lösung mit der zweiten Methode. Erster Fall: n ist gerade setze n = 2 m ; m positiv ganz Das Resultat S wird nach Deinen Angaben sein: S = ¼ [1 – (4m + 1) ] = - m Dieses Resultat bekommen wir durch die Summation zweier arithmetischer Reihen . Die Summe einer solchen Reihe bekommst Du so: Sum = ½ (Anfangsglied + Schlussglied) * Gliederzahl hihi. Erste Reihe: Summe S1 der m positiven Glieder: 1 + 3 + 5 +……+(2m – 1) = ½ [1 + (2m-1)] * m = m^2 Zweite Reihe: Summe S2 der m negativen Glieder - 2 - 4 - 6 -……- 2m = - ½ [2 + 2m] * m = - m^2 – m Die Addition dieser Teilsummen ergibt: S* = S1 + S2 = - m, wie es sein muss: S * = S Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2747 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 10:11: |
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Hi Stella In der Fortsetzung nach der Methode 2 soll der zweite Fall behandelt werden. Zweiter Fall: n ist ungerade setze n = 2 m - 1 ; m positiv ganz Das Resultat S wird nach Deinen Angaben sein: S = ¼ [1 + (4m - 1) ] = m Beachte: es taucht der Faktor (-1)^{2m-2} auf ; da der Exponent von (-1) gerade ist, ist der Faktor selbst 1, hihi. Dieses Resultat bekommen wir durch die Summation zweier arithmetischer Reihen wie im ersten Fall. Erste Reihe: Summe S1 der m positiven Glieder: 1 + 3 + 5 +……+(2m – 1) = ½ [1 + (2m-1)] * m = m^2 Zweite Reihe: Summe S2 der (m – 1) negativen Glieder - 2 - 4 - 6 -……- (2m-2) = - ½ [2+(2m-2)]*(m-1) = - m^2 +m Die Addition dieser Teilsummen ergibt: S* = S1 + S2 = m, wie es sein muss: S * = S Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 52 Registriert: 09-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Oktober, 2003 - 23:48: |
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3) Teleskopsumme Ziel ist, die Summanden k als Differenz darzustellen: (k+1)2 - (k-1)2 = (k2+2k+1) - (k2-2k+1) = 4k (1/4)(k+1)2 - (1/4)(k-1)2 = k Setzen wir das ein in 1 - 2 + 3 - 4 + ... + (-1)n-2(n-1) + (-1)n-1n erhalten wir [(1/4)22 - (1/4)02] - [(1/4)32 - (1/4)12] + [(1/4)42 - (1/4)22] - [(1/4)52 - (1/4)32] + ... + (-1)n-2*[n2 - (n-2)2] + (-1)n-1[(1/4)(n+1)2 - (1/4)(n-1)2] 22 und 32 heben sich weg, genauso 42, 52, ... mit späteren Termen. Vorne bleiben nur die beiden "niedrigsten Quadrate" stehen: - (1/4)02 + (1/4)12 = 1/4 Analog bleiben am Schluss nur die beiden höchsten Quadrate stehen (die niedrigeren Quadrate heben sich mit Termen auf, die weiter vorne stehen): (-1)n-2(1/4)n2 + (-1)n-1(1/4)(n+1)2 = (-1)n-1(1/4)[(-1)n2 + (n+1)2] = (1/4)(-1)n-1[2n + 1] Berücksichtigt man jetzt noch die 1/4, die am Anfang stehenbleiben, hat man insgesamt: (1/4)(1 + (-1)n-1[2n + 1]) werbungsfriedhof@hotmail.com |
Stella234 (Stella234)
Junior Mitglied Benutzername: Stella234
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Oktober, 2003 - 04:55: |
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herzlichen Dank für eure Hilfe, ich werde mir das heute genau anschauen! stella |