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Lockere Folge LF 50 : Ortskurve in de...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2735
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 10:38:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 50 ist eine Bedingung bezüglich
einer komplexen Zahl w der Gauss –Ebene gegeben;
gesucht wird eine Ortskurve in dieser Ebene.

Die Aufgabe lautet:
Bestimme in der Ebene der komplexen Zahlen die
Ortskurve aller Punkte w = u + i v, die mit z1 = -2,
z2 = w^2 auf einer Geraden liegen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 647
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 15:30:   Beitrag drucken

Hallo :

Gesucht ist also m.a.W. die Menge aller
weC derart, dass -2, w, w2 kollinear
sind. Abgesehen von der reellen Achse ist dies genau für diejenigen w der Fall, für welche

w2 = t*w + (1-t)*(-2) mit teR.

Vergleich von Real-und Imaginärteil ergibt unter Beachtung von v ‡ 0

(1) u2-v2 = tu + 2t - 2 und

(2) u = t

Eliminiert man t, so folgt

v2 = 2(1-u)

d.i. die Gleichung einer nach links geöffneten Parabel
mit Scheitel bei 1.


mfG Orion
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 721
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 17:07:   Beitrag drucken

Ich erhalte (nach andererem Rechenweg) einen Kreis mit Mittelpunkt in (-2|0) und Radius sqrt(6).

Gr
mYthos

P.S.: Wenn es stimmt, poste ich den Rechenweg ...
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2737
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 18:21:   Beitrag drucken

Hi orion,
Hi mythos

Ich habe auch den Mythos-Kreis bekommen.
Die Aufgabe zieht Kreise.
Was stimmt wohl?
Die Mehrheit braucht nicht unbedingt Recht zu haben !*

MFG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2740
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 20:37:   Beitrag drucken

Hi,

Hier meine Lösung:
Rechtwinkliges Koordinatensystem:
x-Achse : reelle Achse,
y-Achse : imaginäre Achse
in der Gauss-Ebene.

Wir legen eine Gerade g mit der Steigung m durch
den Punkt P1(-2/0)
Gleichung von g: y = m (x+2)
g muss durch den Punkt
P2 (u/v) und durch den Punkt P3( u^2 - v^2 / 2uv) gehen.
Es gelten die Beziehungen
v = m (u+2)
2 u v = m (u^2 - v^2 + 2)
Eliminiert man m, so bleibt die Kreisgleichung
(u+2)^2 + v^2 = 6
°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 649
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 22:47:   Beitrag drucken

Hallo:

Kleine Ursache, grosse Wirkung: in (2)
ging der Faktor 2 verloren : t = 2u.
Dann kommt es richtig heraus.
mfG Orion
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 724
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 04. Oktober, 2003 - 22:37:   Beitrag drucken

Der Vollständigkeit halber gebe ich noch meinen Rechenweg bekannt:

w² = (u² - v²) + 2uv*i

Die Gerade durch -2 und w² heisst dann:
[Richtungsvektor = ((u² - v² + 2);2uv)]

Z = (-2;0) + t*((u² - v² + 2);2uv)

w = u + v*i muss nun ebenfalls auf dieser Geraden liegen, dieses statt Z einsetzen:

u = -2 + t*(u² - v² + 2)
v = t*(2uv) |:v
------------------------
[und t eliminieren]

(u + 2)*2u = u² - v² + 2
u² + v² + 4u - 2 = 0
(u + 2)² + v² = 6
°°°°°°°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos

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