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Lockere Folge 47: unendliche Reihe 03

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2711
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 06:57:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es folgt die Nummer 47 der Lockeren Folge:

Beweise, dass die Reihe mit dem allgemeinen
Glied
an = (n + 2) / (n +1) * (- 0,5 ) ^ (n-1)
(der Summationsindex n läuft von 1 bis unendlich)
konvergiert, und berechne, wenn möglich, den exakten
Wert der Reihensumme.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath

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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1498
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 08:19:   Beitrag drucken

konvergent selbstverständlich ( | an | streng monoton fallende, Vorzeichen(an) alternierend )

Die Summe, ist
Summe( [1 + 1/(n+1)]/(-2)^(n-1), n=1 bis oo),
also
geometrische Reihe + etwas, das an ArcusTangens(1/2) erinnert.
Na, ja, müsste halt in Formelsammlungen nachsehen,
es
wissen, oder CAS verwenden -
oder wie geht das direkt?

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1499
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 09:23:   Beitrag drucken

Hier müßte mal ein prinzipielle Frage gestellt werden:

Kann man von einem "echten Mathematiker" verlangen,
daß er jederzeit alle bekannten Reihenentwicklungen
auswendig parat hat - oder erst recht die Umkehrungen? - Egal, ob er sich gerade mit dem Gebiet beschäftigt oder nicht?
Er
wird für die vorliegende Aufgabe wohl eher
sagen,
aha, Potenzreihe,
mal
in der(den) Formelsammlung(en) nachsehen.
Und
das moderne Äquivalent dazu sind eben CAS.
Wenn,
auf welchem Weg,
hast
Du selbst diese Aufgabe gelöst, megamath?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2715
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 10:32:   Beitrag drucken

Hi Fredrich Laher

Gemach, gemach!

Es gilt, zuerst die laufende Serie in ein Koordinatensystem
zu legen!
Ich bin von zukünftigen und aktiven Studenten gebeten worden,
in lockerer Folge Aufgaben über diverse Gebiete zusammenzustellen.
In einer Fleissarbeit habe ich mich, sehr gerne, diesem Anliegen
unterzogen.
Gegenwärtig sind ein paar Aufgaben aus der Reihenlehre,
einem sehr anspruchsvollen Gebiet, in Arbeit.
Dieser Serie liegt ein gewisser Aufbau zu Grunde, wie man
leicht erkennen kann.
Es gibt Kollegen, welche diese Aufgaben gerne lösen und lösen können.
Siehe insbesondere die Arbeiten zu den Aufgaben 45 und 46 von gestern,
studiere sie und vor allen Dingen: profitiere von ihnen!
Die neuen Aufgaben sind den Vorgängern nachgebildet.
Die beiden Mitarbeiter haben die Aufgaben bravourös gelöst,
aus dem Stand sozusagen;
ich habe andere Lösungsarten beigetragen, damit die Studierenden
möglichst viel profitieren können.

Solche Reihengeschichten tauchen in Übungsserien an den Hochschulen
tatsächlich auf, insbesondere an Technischen Universitäten.
Beispiele haufenweise,weiteres findest Du in der reichhaltigen Literatur
zum Thema.
Zu Deiner Frage: auswendig brauchst Du nichts zu wissen,
nachschlagen ist aber erlaubt.
Langjährige Erfahrung mit der Materie ist hilfreich.
Bei jeder Aufgabe, die man löst, gilt:
Es bleibt immer etwas hängen, hihi.

Bei der vorliegenden Aufgabe 47 habe ich vorsichtig formuliert:
„…wenn möglich“ im Wissen darum, dass ein schwieriges Problem
vorliegt.
Die Lösung interessiert mich persönlich, das kommt bei Allem noch dazu!
Ich bin daran, die Lösung zu erarbeiten, ich lasse mir aber Zeit, weil ich
auch noch andere Dinge zu tun habe.
Ich hoffe, dass ich von Aussen Anregungen bekomme, die nützlich sind
und mir weiterhelfen können.
Ich nehme sie gerne entgegen !
Das ist nach meiner Ansicht der Sinn der Sache:
Hilfen zu geben und Hilfen anzunehmen, wenn das nötig wird,
nichts anderes.

Damit ist von mir aus die Diskussion über Grundsatzfragen
beendet.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 254
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 17:20:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Zur Konvergenz:

an=(n+2)/(n+1)*(-0.5)n-1

=>

an+1=(n+3)/(n+2)*(-0.5)n


an+1/an=[(n+3)/(n+2)*(-0.5)n]/[(n+2)/(n+1)*(-0.5)n-1]

=[(n+3)*(-0.5)n*(n+1)]/[(n+2)2*(-0.5)n*(-2)]

=[(n+3)*(n+1)]/[(n+2)2*(-2)]

=(n2+4n+2)/[(n2+4n+4)*(-2)]

=(n2+4n+3)/(-2n2-8n-8)

limn->¥(n2+4n+3)/(-2n2-8n-8)

=limn->¥(n2/n2+4n/n2+3/n2)/(-2n2/n2-8n/n2-8/n2)

=-1/2

=>

|an+1/an|=q=1/2 < 1 => konvergent!

An dem Rest brauche ich mich wohl garnicht erst versuchen.:-)


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2724
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 19:02:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Besten Dank für Deinen Lösungsvorschlag.

Grundsätzlich hilft uns für den Nachweis der Konvergenz
bei unendlichen Reihen mit Zeichenwechsel, bei alternierenden
Reihen also, die so genannte Leibnizsche Regel.

Sie lautet:
Eine alternierende Reihe, bei welcher die Beträge der Glieder
eine monotone Nullfolge bilden, ist konvergent.

Die Bedingung ist im vorliegenden Fall erfüllt, und der Fall
ist damit erledigt.

Das Quotientenkriterium habe ich bei der vorhergehenden Reihe,
der Aufgabe 46, eingesetzt, die aus lauter positiven Gliedern besteht.
Jene Reihe hängt mit der vorliegenden Reihe in dem Sinne zusammen,
dass die Beträge ihrer Glieder paarweise übereinstimmen.
Die Reihe der Aufgabe 47 ist, wie man sagt, absolut konvergent.
Die Reihe ihrer Absolutglieder konvergiert, das genügt für ihre
eigene Konvergenz.

Dass Du der Summe nicht auf die Spur kommst, macht gar nichts.
Empfehlung: Studiere das bisher Gesagte, insbesondere auch die
Arbeiten von Orion und Martin.
Bei der Reihe der Aufgabe 46 mit der Lösung von Orion.
kannst Du bei f(z) für z
z = - ½ einsetzen und ausrechnen, welcher Summenwert entsteht.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 258
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 19:17:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Soeben habe ich mir weiterführende Literatur zu diesem Thema besorgt.:-)
Vielleicht kann ich ja bald etwas mehr ausrichten.

Gruß,Olaf

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