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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2711 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 06:57: |
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Hi allerseits Es folgt die Nummer 47 der Lockeren Folge: Beweise, dass die Reihe mit dem allgemeinen Glied an = (n + 2) / (n +1) * (- 0,5 ) ^ (n-1) (der Summationsindex n läuft von 1 bis unendlich) konvergiert, und berechne, wenn möglich, den exakten Wert der Reihensumme. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser, megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1498 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 08:19: |
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konvergent selbstverständlich ( | an | streng monoton fallende, Vorzeichen(an) alternierend ) Die Summe, ist Summe( [1 + 1/(n+1)]/(-2)^(n-1), n=1 bis oo), also geometrische Reihe + etwas, das an ArcusTangens(1/2) erinnert. Na, ja, müsste halt in Formelsammlungen nachsehen, es wissen, oder CAS verwenden - oder wie geht das direkt?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1499 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 09:23: |
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Hier müßte mal ein prinzipielle Frage gestellt werden: Kann man von einem "echten Mathematiker" verlangen, daß er jederzeit alle bekannten Reihenentwicklungen auswendig parat hat - oder erst recht die Umkehrungen? - Egal, ob er sich gerade mit dem Gebiet beschäftigt oder nicht? Er wird für die vorliegende Aufgabe wohl eher sagen, aha, Potenzreihe, mal in der(den) Formelsammlung(en) nachsehen. Und das moderne Äquivalent dazu sind eben CAS. Wenn, auf welchem Weg, hast Du selbst diese Aufgabe gelöst, megamath? Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2715 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 10:32: |
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Hi Fredrich Laher Gemach, gemach! Es gilt, zuerst die laufende Serie in ein Koordinatensystem zu legen! Ich bin von zukünftigen und aktiven Studenten gebeten worden, in lockerer Folge Aufgaben über diverse Gebiete zusammenzustellen. In einer Fleissarbeit habe ich mich, sehr gerne, diesem Anliegen unterzogen. Gegenwärtig sind ein paar Aufgaben aus der Reihenlehre, einem sehr anspruchsvollen Gebiet, in Arbeit. Dieser Serie liegt ein gewisser Aufbau zu Grunde, wie man leicht erkennen kann. Es gibt Kollegen, welche diese Aufgaben gerne lösen und lösen können. Siehe insbesondere die Arbeiten zu den Aufgaben 45 und 46 von gestern, studiere sie und vor allen Dingen: profitiere von ihnen! Die neuen Aufgaben sind den Vorgängern nachgebildet. Die beiden Mitarbeiter haben die Aufgaben bravourös gelöst, aus dem Stand sozusagen; ich habe andere Lösungsarten beigetragen, damit die Studierenden möglichst viel profitieren können. Solche Reihengeschichten tauchen in Übungsserien an den Hochschulen tatsächlich auf, insbesondere an Technischen Universitäten. Beispiele haufenweise,weiteres findest Du in der reichhaltigen Literatur zum Thema. Zu Deiner Frage: auswendig brauchst Du nichts zu wissen, nachschlagen ist aber erlaubt. Langjährige Erfahrung mit der Materie ist hilfreich. Bei jeder Aufgabe, die man löst, gilt: Es bleibt immer etwas hängen, hihi. Bei der vorliegenden Aufgabe 47 habe ich vorsichtig formuliert: „…wenn möglich“ im Wissen darum, dass ein schwieriges Problem vorliegt. Die Lösung interessiert mich persönlich, das kommt bei Allem noch dazu! Ich bin daran, die Lösung zu erarbeiten, ich lasse mir aber Zeit, weil ich auch noch andere Dinge zu tun habe. Ich hoffe, dass ich von Aussen Anregungen bekomme, die nützlich sind und mir weiterhelfen können. Ich nehme sie gerne entgegen ! Das ist nach meiner Ansicht der Sinn der Sache: Hilfen zu geben und Hilfen anzunehmen, wenn das nötig wird, nichts anderes. Damit ist von mir aus die Diskussion über Grundsatzfragen beendet. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 254 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 17:20: |
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Hi Megamath, Zur Konvergenz: an=(n+2)/(n+1)*(-0.5)n-1 => an+1=(n+3)/(n+2)*(-0.5)n an+1/an=[(n+3)/(n+2)*(-0.5)n]/[(n+2)/(n+1)*(-0.5)n-1] =[(n+3)*(-0.5)n*(n+1)]/[(n+2)2*(-0.5)n*(-2)] =[(n+3)*(n+1)]/[(n+2)2*(-2)] =(n2+4n+2)/[(n2+4n+4)*(-2)] =(n2+4n+3)/(-2n2-8n-8) limn->¥(n2+4n+3)/(-2n2-8n-8) =limn->¥(n2/n2+4n/n2+3/n2)/(-2n2/n2-8n/n2-8/n2) =-1/2 => |an+1/an|=q=1/2 < 1 => konvergent! An dem Rest brauche ich mich wohl garnicht erst versuchen. Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2724 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 19:02: |
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Hi Olaf Besten Dank für Deinen Lösungsvorschlag. Grundsätzlich hilft uns für den Nachweis der Konvergenz bei unendlichen Reihen mit Zeichenwechsel, bei alternierenden Reihen also, die so genannte Leibnizsche Regel. Sie lautet: Eine alternierende Reihe, bei welcher die Beträge der Glieder eine monotone Nullfolge bilden, ist konvergent. Die Bedingung ist im vorliegenden Fall erfüllt, und der Fall ist damit erledigt. Das Quotientenkriterium habe ich bei der vorhergehenden Reihe, der Aufgabe 46, eingesetzt, die aus lauter positiven Gliedern besteht. Jene Reihe hängt mit der vorliegenden Reihe in dem Sinne zusammen, dass die Beträge ihrer Glieder paarweise übereinstimmen. Die Reihe der Aufgabe 47 ist, wie man sagt, absolut konvergent. Die Reihe ihrer Absolutglieder konvergiert, das genügt für ihre eigene Konvergenz. Dass Du der Summe nicht auf die Spur kommst, macht gar nichts. Empfehlung: Studiere das bisher Gesagte, insbesondere auch die Arbeiten von Orion und Martin. Bei der Reihe der Aufgabe 46 mit der Lösung von Orion. kannst Du bei f(z) für z z = - ½ einsetzen und ausrechnen, welcher Summenwert entsteht. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser, megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 258 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 19:17: |
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Hi Megamath, Soeben habe ich mir weiterführende Literatur zu diesem Thema besorgt. Vielleicht kann ich ja bald etwas mehr ausrichten. Gruß,Olaf |
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