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Simplexverfahren

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Cassie (Cassie)
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Neues Mitglied
Benutzername: Cassie

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 17:22:   Beitrag drucken

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Folgendes LO-Problem
Z=-5x1+2x2=MIN!
x1-x2>=0
2x1+x2>=4
x2>=1

Die Aufgabe sollte mit dem Simplexverfahren gelöst werden. Komme irgendwie nicht an das Endtableau.

Danke im voraus!
MfG
Cassie
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2689
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 10:00:   Beitrag drucken

Hi Cassie,

Wir wollen Deine Aufgabe miteinander lösen, indem wir
wie bei der Zubereitung einer nicht alltäglichen Speise
nach Rezept arbeiten:

1.
Zeichne in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
die folgenden drei Geraden g1,g2,g3 ein,
deren Gleichungen lauten:

g1: x - y = 0 oder y = x
g2: 2x + y = 4
g3: y = 1

Kommentar
g1 geht durch den Nullpunkt O und halbiert den Winkel
der positiven Koordinatenachsen
(Halbierende des ersten und dritten Quadranten).
g2 geht durch die Punkte (2/0) und (0/4).
g3 verläuft parallel zur x-Achse im Abstand 1.

2.
Ermittle die Schnittpunkte A und B von g2 mit g1 und g3;
Resultat:
g2 schneidet g1 in A mit xA = yA = 4/3
g2 schneidet g3 in B mit xB = 3/2, yB = 1

3.
Die Ungleichungen definieren Gebiete in der
Koordinatenebene, die wir leicht schraffieren:
x – y > = 0: alle Punkte der Ebene UNTERHALB g1
2x + y > = 4 : alle Punkte der Ebene RECHTS von g2
y > = 1 : alle Punkte der Ebene OBERHALB g3.

Wesentlich ist der Durchschnitt D dieser drei Teilgebiete.
Schraffiere D neu, kräftig!
D ist ein Zwickel mit den Ecken A und B, der sich nach
rechts ins Unendliche erstreckt.

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Cassie (Cassie)
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Neues Mitglied
Benutzername: Cassie

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 27. September, 2003 - 11:34:   Beitrag drucken

Hallo Herr Moser,

danke erstmal für die schnelle Hilfe. Da ich die Klausur schon am Montag schreibe, bräuchte ich die Lösung ganz dringend.

Die weiterführende Fragestellung lautet: Berechnen Sie die notwendigen Zwischentableaus. Interpretieren Sie das Entableau. Beim Endtableau
bekomme ich eine komische Lösung.

Danke im voraus
MfG Cassie
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2698
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. September, 2003 - 12:37:   Beitrag drucken


Hi Cassie,

Ich habe mit der Fortsetzung zur Lösung Deiner Aufgabe
mit Absicht so lange zugewartet, bis eine Reaktion Deinerseits
erfolgt.
Den Begriff Endtableau ist mir nicht bekannt.
Ich zeige Dir, wie man die Aufgabe auch lösen könnte.
Du kannst dann das Ergebnis mit den Resultaten anderer
Lösungsmethoden vergleichen.
Auffallend:
Ich bekomme statt des angekündigten Minimums ein Maximum
der Zielfunktion
Vielleicht rechnet jemand aus dem Kreise des Forums die Aufgabe
durch.

Fortsetzung:



Zum Abschluss der Aufgabe zeichnen wir eine Gerade p,
deren Gleichung wir der Zielfunktion entnehmen.
Wir setzen z = 0 und erhalten als Gleichung von p:
- 5 x + 2 y = 0 oder y = 5/2 x
Diese Gerade geht durch den Nullpunkt und den
Punkt P(2/5).

Achtung:
Nun verschieben wir p PARALLEL, bis sie erstmals
in Kontakt kommt mit unserem schraffierten Gebiet D.
Das ist der Fall, wenn die parallel verschobene Gerade
durch A geht! (nicht durch B !)

A ist derjenige Punkt, der das Extremum für die
Zielfunktion bezüglich des schraffierten Gebietes D liefert.

In dieser Endlage möge die parallel verschobene Gerade p*
heissen.
Die Gleichung von p* lautet:
p*: y = 5/2 x + q:
Da p* durch A geht, erhalten wir durch Einsetzen der
Koordinaten von A für q den Wert q = -2, also
p*: y = 5/2 x – 2 ODER:
- 5 x + 2 y = - 4
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dabei ist – 4 der Wert des Maximums (nicht MIN)

Z.B liefert der Punkt Y(3/2), der zum schraffierten Gebiet
gehört, für die Zielfunktion den Wert
zY = - 15 + 4 = -11.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Cassie (Cassie)
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Junior Mitglied
Benutzername: Cassie

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. September, 2003 - 00:59:   Beitrag drucken

Danke Trotzdem!

Was ich meinte ist Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren!

MfG Cassie
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2702
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. September, 2003 - 10:10:   Beitrag drucken

Hi Cassie,

Jetzt habe ich Dich verstanden und Dein Anliegen erfasst!
Du möchtest die Aufgabe mit Hilfe des Simplexalgorithmus lösen,
bei welchem Simplextableaux auftreten.
Ich habe Dir ein anderes, sehr populäres Verfahren vorgeführt,
die graphische Methode..
Das kann auch nichts schaden.

Anmerkung
Ein Minimum liegt tatsächlich vor, wenn man sich auf den BETRAG der
Zielfunktion ausrichtet.

Für die Vorführung des Simplexalgorithmus reicht die mir zur Verfügung
stehende Zeit leider nicht.
Ich möchte aber für spätere Anwendungen auf ein Buch hinweisen,
das für Dir hilfreich sein könnte:
B. G. Teubner Verlag
Walter Purkert
Brückenkurs Mathematik
für Wirtschaftswissenschaftler

Dort findest Du im letzten Kapitel
alles Nötige, inkl. Aufgaben mit Lösungen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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