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Lockere Folge XXX: Ein Integral

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Integralrechnung » Lockere Folge XXX: Ein Integral « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2624
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 18:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Nummer XXX der lockeren Folge ist ein Integral
Schritt für Schritt zu berechnen.
Es sind nach Möglichkeit mehrere Methoden zu verwenden,
CAS sind nicht zugelassen.
Der Integrand lautet:
f(x) = 1 / ( x ^ 4 + x )

a) Bestimme eine Stammfunktion F(x) von f(x)
b) Berechne das zugehörige uneigentliche Integral:
untere Grenze 1, obere Grenze unendlich.
c) Berechne das bestimmte Integral über f(x),
untere Grenze 1/n, obere Grenze 1.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Aquariusboy (Aquariusboy)
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Benutzername: Aquariusboy

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 19:00:   Beitrag drucken

Mein Ergebnis ist:
1/3*ln|1+1/x^3|
Stimmt das?
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2625
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 19:45:   Beitrag drucken

Hi,
Setz noch ein Minuszeichen davor!
Kannst Du das Ergenis auch noch herleiten ?
Dann sehen wir alle besser durch !

MfG
H.R.Moser,megamath
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Aquariusboy (Aquariusboy)
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Junior Mitglied
Benutzername: Aquariusboy

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 08:36:   Beitrag drucken

Ich habe zunächst substituiert: t=1/x
Dann ergibt sich
Integral[1/(x^4+x)dx]=Integral[1/(1/t^4)+1/t)dx]
=Integral[t^4/(1+t^3)*(-1/t^2)dt]
=-Integral[t^2/(1+t^3)dt]
Dann logarithmisch integrieren:
=-1/3*Integral[3t^2/(1+t^3)dt]
=-1/3*ln|1+t^3|
Resubstituieren:
=-1/3*ln|1+1/x^3|
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2627
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 09:19:   Beitrag drucken

Hi Aquariusboy,

Deine Lösung ist einwandfrei, besten Dank.
Es sollte nun nicht mehr schwierig sein, die restlichen
Teilaufgaben noch zu lösen.
Post festum werde ich eine weitere Lösungsmöglichkeit
vorführen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2629
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 12:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Das gesuchte unbestimmte Integral lässt sich auch so eruieren:
Wir formen f(x) leicht um:
f(x) = [(x^3 + 1) – x^3] / [x (x^3 + 1)] = 1/x –x^2 / (x^3 + 1);
die Integration liefert:
F(x) = ln x - 1 / 3 ln (x^3 + 1) = ln [x / R(x)],
R(x) ist die dritte Wurzel aus (x^3 + 1)

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2631
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 15:37:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es ist nun nicht mehr schwierig,
die restlichen Teilaufgaben noch zu lösen.

ad b)
Das uneigetliche Integral J* existiert, wie leicht
einzusehen ist.
Setzt man als untere Grenze 1, als obere Grenze infinity,
so kommt:
J* = 0 – ln [ 2^(-1/3) ], also
J* = 1/3 ln 2
°°°°°°°°°°°°

ad c)
Wir setzen auch hier brav die Grenzen ein und bekommen
für das gesuchte bestimmte Integral J°:
J° = -1/3 ln 2 – ln (1/n) + 1/3 ln (1/n^3 + 1) oder
J° = -1/3 ln 2 + 1/3 ln(1+n^3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 880
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 15:38:   Beitrag drucken

Hihi,

hier kann man auch noch abstauben...

b) wieder I = (1/3) * ln(2) ~ 0,2311

c) I = (1/3) * [ ln( 1 + n^3 ) - ln(2) ]

mfg

PS: Megamath das war ja fasst Zeitgleich :-)
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2632
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 15:45:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Alles hat ein Ende,auch das Abstauben
Es kommen wieder härterer Zeiten:
Rückgriff auf Geometrieaufgaben!
Jedenfalls: Danke für den Einsatz.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 244
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 17:50:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Auch ich hatte keine Probleme mit diesen Integralen.Ich bin gespannt auf weitere Geometrieaufgaben (wo es dann wohl wieder anders aussehen wird:-)).

Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2634
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 17:57:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Die kommen unweigerlich,schon sehr bald!

MfG
megamath

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