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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2624 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 18:13: |
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Hi allerseits In der Nummer XXX der lockeren Folge ist ein Integral Schritt für Schritt zu berechnen. Es sind nach Möglichkeit mehrere Methoden zu verwenden, CAS sind nicht zugelassen. Der Integrand lautet: f(x) = 1 / ( x ^ 4 + x ) a) Bestimme eine Stammfunktion F(x) von f(x) b) Berechne das zugehörige uneigentliche Integral: untere Grenze 1, obere Grenze unendlich. c) Berechne das bestimmte Integral über f(x), untere Grenze 1/n, obere Grenze 1. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Aquariusboy (Aquariusboy)
Junior Mitglied Benutzername: Aquariusboy
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 03-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 19:00: |
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Mein Ergebnis ist: 1/3*ln|1+1/x^3| Stimmt das? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2625 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. September, 2003 - 19:45: |
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Hi, Setz noch ein Minuszeichen davor! Kannst Du das Ergenis auch noch herleiten ? Dann sehen wir alle besser durch ! MfG H.R.Moser,megamath |
Aquariusboy (Aquariusboy)
Junior Mitglied Benutzername: Aquariusboy
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 03-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 08:36: |
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Ich habe zunächst substituiert: t=1/x Dann ergibt sich Integral[1/(x^4+x)dx]=Integral[1/(1/t^4)+1/t)dx] =Integral[t^4/(1+t^3)*(-1/t^2)dt] =-Integral[t^2/(1+t^3)dt] Dann logarithmisch integrieren: =-1/3*Integral[3t^2/(1+t^3)dt] =-1/3*ln|1+t^3| Resubstituieren: =-1/3*ln|1+1/x^3| |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2627 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 09:19: |
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Hi Aquariusboy, Deine Lösung ist einwandfrei, besten Dank. Es sollte nun nicht mehr schwierig sein, die restlichen Teilaufgaben noch zu lösen. Post festum werde ich eine weitere Lösungsmöglichkeit vorführen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2629 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 12:13: |
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Hi allerseits, Das gesuchte unbestimmte Integral lässt sich auch so eruieren: Wir formen f(x) leicht um: f(x) = [(x^3 + 1) – x^3] / [x (x^3 + 1)] = 1/x –x^2 / (x^3 + 1); die Integration liefert: F(x) = ln x - 1 / 3 ln (x^3 + 1) = ln [x / R(x)], R(x) ist die dritte Wurzel aus (x^3 + 1) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2631 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 15:37: |
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Hi allerseits Es ist nun nicht mehr schwierig, die restlichen Teilaufgaben noch zu lösen. ad b) Das uneigetliche Integral J* existiert, wie leicht einzusehen ist. Setzt man als untere Grenze 1, als obere Grenze infinity, so kommt: J* = 0 – ln [ 2^(-1/3) ], also J* = 1/3 ln 2 °°°°°°°°°°°° ad c) Wir setzen auch hier brav die Grenzen ein und bekommen für das gesuchte bestimmte Integral J°: J° = -1/3 ln 2 – ln (1/n) + 1/3 ln (1/n^3 + 1) oder J° = -1/3 ln 2 + 1/3 ln(1+n^3) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 880 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 15:38: |
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Hihi, hier kann man auch noch abstauben... b) wieder I = (1/3) * ln(2) ~ 0,2311 c) I = (1/3) * [ ln( 1 + n^3 ) - ln(2) ] mfg PS: Megamath das war ja fasst Zeitgleich :-) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2632 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 15:45: |
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Hi Ferdi Alles hat ein Ende,auch das Abstauben Es kommen wieder härterer Zeiten: Rückgriff auf Geometrieaufgaben! Jedenfalls: Danke für den Einsatz. MfG H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 244 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 17:50: |
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Hi Megamath, Auch ich hatte keine Probleme mit diesen Integralen.Ich bin gespannt auf weitere Geometrieaufgaben (wo es dann wohl wieder anders aussehen wird). Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2634 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 17:57: |
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Hi Olaf, Die kommen unweigerlich,schon sehr bald! MfG megamath
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