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Christoph (mendax)
Neues Mitglied Benutzername: mendax
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 19:25: |
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Ich denke, dass diese Reihe divergiert, allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das beweisen soll? |
Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 562 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 19:40: |
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Deine Reihe kannste folgendermaßen vereinfachen: ln(10) * SUM [n=2;+inf] 1/(n*ln(n)) Mathematica liefert f. Log[10] * N[Sum[1/(n*Log[n]), {n, 2, 5000000}]] 8.12966 Die Reihe wächst nur gewaltig langsamer als die harmonische Reihe; Und zeigen würde ich die Divergenz mittels des Integralkriteriums: INT [1/(n*ln(n))] dn = ln(ln(n)) + C Und da sieht man es auch schon: LIM [n->+inf] ln(ln(n)) - ln(ln(2)) = +inf Gruß, Walter (Beitrag nachträglich am 10., August. 2003 von mainziman editiert) Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Christoph (mendax)
Neues Mitglied Benutzername: mendax
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 23:31: |
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Danke für deinen Beitrag, allerdings ist mir dieses Kriterium nicht bekannt. Gibt es eine alternative Lösung des Problems? |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1436 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 19:43: |
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Christoph, es ist doch Summe 1/(n log n) > Integral 1/(n log n) (Summe von 2 bis oo, Integral von 3 bis oo) Da da Integral = oo ist, erst recht die Summe. |
Christoph (mendax)
Neues Mitglied Benutzername: mendax
Nummer des Beitrags: 4 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 21:49: |
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Das Problem besteht keineswegs darin, dass ich nicht verstehe, was ihr meint, sondern in der Tatsache, dass diese Aufgabe meiner Klausur entstammt und wie du sicherlich weißt, ist nur die Verwendung bekannter Sätze erlaubt, es sei denn, man beweist seine Behauptungen und ich glaube kaum, dass mir dies in der Aufregung und dem Zeitdruck gelungen wäre, daher hatte ich gehofft, es gäbe eine Lösung, die mit den ganz "primitiven", "fundamentalen" Konvergenzkriterien auskommt. Trotzdem vielen Dank für deine weiteren Erläuterungen. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1437 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 22:07: |
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Dann bleibt natürlich die Frage, was du unter "primitiv" und "fundamental" verstehst. Um zu beweisen, dass die harmonische Reihe divergiert, müssen schon ein paar Klimmzüge gemacht werden. Und hier liegt es ja noch "näher" an der Konvergenz. |
Christoph (mendax)
Neues Mitglied Benutzername: mendax
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 22:33: |
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Falls du Otto Forsters "Analysis 1" besitzen solltest: § 7 Satz 1-3 sowie 5-7 D.h. Satz 1: Cauchysches Konvergenz-Kriterium Satz 2: Notwendige Bedingung, dass die Folge eine Nullfolge ist. Satz 3: Beschränktheit der Folge der Partialsummen Satz 5: Absolute Konvergenz Satz 6: Majoranten-Kriterium Satz 7: Quotienten-Kriterium Mein beiden Versuche waren damals die Negation von Satz 3 bzw Satz 6 zu beweisen, was mir allerdings nicht gelunden ist. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1438 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 22:47: |
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Ich gehe mal davon aus, dass du demnächst mit dem 3. Semester anfängst. Und da sollte eigentlich das Riemannsche Integral (mit Ober- und Untersumme) eingeführt worden sein. Weiterhin der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Das darfst du dann in einer Klausur auch verwenden. Meiner Meinung nach ... |
Christoph (mendax)
Junior Mitglied Benutzername: mendax
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 22:54: |
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Nach den Ferien kommt für mich das zweite Semester, aber ich muss dich leider enttäuschen, weil mir Begriffe wie uneigentliche Integrale nicht bekannt sind. Ganz davon abgesehen, dass ich mit meinen Kenntnissen nicht in der Lage wäre, dass Integral von 1/n*logn zu berechnen. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1439 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 23:53: |
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Okay, das ist ziemlich ungewöhnlich, dass ihr im SS mit dem 1. Semester beginnt! Das "uneigentliche Integral" brauchst du nicht. Du musst lediglich wissen, dass log(log n) gegen unendlich geht. Außerdem natürlich, dass die Ableitung von log(log n) gleich 1/(n log n) ist. (Kettenregel! .. und der bereits zitierte Hauprsatz) Gebe aber zu, dass die Aufgabe für eine Klausur nach dem 1. Semester ziemlich hinterhältig ist.
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Mendax (mendax)
Junior Mitglied Benutzername: mendax
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. August, 2003 - 18:31: |
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Hauptsache durch! |
Mendax (mendax)
Junior Mitglied Benutzername: mendax
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. August, 2003 - 22:04: |
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Schau mal bitte |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2407 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 10:13: |
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Hi allerseits,hi Mendax Das von Mendax präsentierte Beispiel ist ein bekanntes Paradebeispiel, das in den einschlägigen Vorlesungen oder in den entsprechenden Übungen dazu einen festen Platz einnimmt. Auch in zahlReich ist es mindestens schon dreimal aufgetaucht und von bestens ausgewiesenen Mitarbeitern ausführlich besprochen worden, sogar in der etwas allgemeineren Gestalt (Originalzitat): Für welche a konvergiert sum n=2 bis oo [ 1 / (n* (log n)^a)] ? In der Regel wird von zwei Lösungsmethoden Gebrauch gemacht: a) Verwendung des Integralkriteriums von Maclaurin-Cauchy b) Verwendung des Cauchyschen Verdichtungssatzes. Das zweite Verfahren scheint mir für Anfänger gut geeignet zu sein; auf Wunsch werde ich den Lösungsgang vorführen. Erwähnenswert ist die Herkunft solcher Beispiele. Iterierte Logarithmen ln[ln(n)] beliebiger Tiefe im Nenner benützten schon Morgan und Bertrand (1842). Nach Bertrand wird ein entsprechendes Konvergenzkriterium benannt, aber das ist eine andere Geschichte Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2408 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 10:17: |
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Hi Mendax, Deine Spinnerei ist sehr wohl brauchbar. Es ist genau die Quintessenz des Verdichtungssatzes von Cauchy. Bravo ! * MfG H.R.Moser,megamath |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1440 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 17:17: |
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Ich schließe mich dem Bravo an! |
Mendax (mendax)
Junior Mitglied Benutzername: mendax
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 16:34: |
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Hallo megamath, mich würde interessieren, für welche a die Reihe im allgemeinen Fall konvergiert? Denn mein Problem schrammt, wie Zaph bereits erwähnt hat, knapp an der Konvergenz vorbei. Gruß |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2419 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 17:15: |
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Hi Mendax, Du hast das Verhalten der Reihe richtig erfasst, und gemerkt, dass es zur Konvergenz nicht mehr viel braucht. Das siehst Du an dem von mir zitierten allgemeineren Beispiel mit dem Exponeneten a>0 Die folgenden Ausführungen stammen von clemens und sind dem Archiv entnommen: Zitat Anfang: Frage von B. a) Für welche a konvergiert S n=0 bis oo [ 1 / (n* (log n)^a)] ? Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 02:27: Antwort von clemens(TF bereinigt) zu a): n muß von 2 weggehen, sonst ist das Glied nicht definiert. Nimm den Cauchy'schen Verdichtungssatz: Eine Reihe S[n=1,oo]a(n) konvergiert genau dann wenn die Reihe S[k=1,oo]2^k a(2^k) konvergiert. Du musst also jetzt die Konvergenz von (log2)^a * S[n=1,oo]1/(2^((a-1)k)k^a) untersuchen. Für a<=1 sieht man schnell die Divergenz (harmonische Reihe) Für a>1 kann man den Ausdruck nach oben mit 1/k^a abschätzen und bekommt so über das Minorantenkriterium die Konvergenz der ursprünglichen Reihe. n=2 bis oo [ 1 / (n* (log n)^a)] Zitat Ende. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Mendax (mendax)
Junior Mitglied Benutzername: mendax
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 08-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 00:02: |
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Danke |
Dj_förster (Dj_förster)
Neues Mitglied Benutzername: Dj_förster
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 09-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 15:02: |
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Summe von 1 bis unendlich von der Reihe: (n+4)/n²-3n+1) Das soll über das Minorantenkriterium funktionieren! Bloß wie? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1483 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 19:06: |
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Bitte keine N E U E N Fragen mehr in diesen Thread durch n kürzen und mit 1/n vergleichen (1 + 4/n) /( n - 3 + 1/n) ?> 1/n n + 4 ?> n - 3 + 1/n na, und das ">" gilt schon ab n=3, 1/n ist also eine ( divergente ) Minorante ( für n < 3 hätte die mult. der Ungleichung mit n - 3 + 1/n das ">" zu "<" gemach ) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2694 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 06:46: |
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Hi, Solange es um die Frage nach Konvergenz oder Divergenz geht, brauchst Du Dich um das Verhalten der Glieder am Anfang nicht zu kümmern. Das macht gar nichts, wenn die Nummern 2,3 (!) etc aus der Reihe tanzen und sich der Ordnung nicht fügen wollen. Solange die Anzahl solcher Querulanten endlich ist, macht das nichts. Das infinitäre Verhalten einer Reihe und Ihre Struktur im Sinne von ad infinitum ist das Entscheidende. Ich unterstelle Niemandem, dass er das nicht weiß! Es schadet aber nichts, darauf hinzuweisen. Die Aufgabe selbst lässt sich ganz ohne Umschweife lösen. Herstellung einer Minorante: Verkleinere den Zähler, indem Du 4 subtrahierst Vergrößere den Nenner, indem Du 3n -1 addierst Alsdann: kürze mit n. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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babaanne
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 27. November, 2005 - 13:42: |
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ich möchte eine beispiel aufgabe zur CAUCHYSCHEN VERDICHTUNGSSATZ, weil ich es einfach nicht versehen kann. KANN mir jemand helfen |