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Konvergenz oder Divergenz der Reihe

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Christoph (mendax)
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Benutzername: mendax

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 19:25:   Beitrag drucken

Reihe


Ich denke, dass diese Reihe divergiert, allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das beweisen soll?
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 562
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 19:40:   Beitrag drucken

Deine Reihe kannste folgendermaßen vereinfachen:

ln(10) * SUM [n=2;+inf] 1/(n*ln(n))

Mathematica liefert f.
Log[10] * N[Sum[1/(n*Log[n]), {n, 2, 5000000}]]
8.12966

Die Reihe wächst nur gewaltig langsamer als die harmonische Reihe;

Und zeigen würde ich die Divergenz mittels des Integralkriteriums:

INT [1/(n*ln(n))] dn = ln(ln(n)) + C

Und da sieht man es auch schon:

LIM [n->+inf] ln(ln(n)) - ln(ln(2)) = +inf

Gruß,
Walter

(Beitrag nachträglich am 10., August. 2003 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christoph (mendax)
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Benutzername: mendax

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 23:31:   Beitrag drucken

Danke für deinen Beitrag, allerdings ist mir dieses Kriterium nicht bekannt. Gibt es eine alternative Lösung des Problems?
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Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1436
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 19:43:   Beitrag drucken

Christoph,

es ist doch

Summe 1/(n log n) > Integral 1/(n log n)

(Summe von 2 bis oo, Integral von 3 bis oo)

Da da Integral = oo ist, erst recht die Summe.
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Christoph (mendax)
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Benutzername: mendax

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 21:49:   Beitrag drucken

Das Problem besteht keineswegs darin, dass ich nicht verstehe, was ihr meint, sondern in der Tatsache, dass diese Aufgabe meiner Klausur entstammt und wie du sicherlich weißt, ist nur die Verwendung bekannter Sätze erlaubt, es sei denn, man beweist seine Behauptungen und ich glaube kaum, dass mir dies in der Aufregung und dem Zeitdruck gelungen wäre, daher hatte ich gehofft, es gäbe eine Lösung, die mit den ganz "primitiven", "fundamentalen" :-) Konvergenzkriterien auskommt.
Trotzdem vielen Dank für deine weiteren Erläuterungen.
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Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1437
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 22:07:   Beitrag drucken

Dann bleibt natürlich die Frage, was du unter "primitiv" und "fundamental" verstehst. Um zu beweisen, dass die harmonische Reihe divergiert, müssen schon ein paar Klimmzüge gemacht werden. Und hier liegt es ja noch "näher" an der Konvergenz.
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Christoph (mendax)
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Benutzername: mendax

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 22:33:   Beitrag drucken

Falls du Otto Forsters "Analysis 1" besitzen solltest:
§ 7
Satz 1-3 sowie 5-7
D.h.
Satz 1:
Cauchysches Konvergenz-Kriterium
Satz 2:
Notwendige Bedingung, dass die Folge eine Nullfolge ist.
Satz 3:
Beschränktheit der Folge der Partialsummen
Satz 5:
Absolute Konvergenz
Satz 6:
Majoranten-Kriterium
Satz 7:
Quotienten-Kriterium

Mein beiden Versuche waren damals die Negation von Satz 3 bzw Satz 6 zu beweisen, was mir allerdings nicht gelunden ist.
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Zaph (zaph)
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Nummer des Beitrags: 1438
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 22:47:   Beitrag drucken

Ich gehe mal davon aus, dass du demnächst mit dem 3. Semester anfängst. Und da sollte eigentlich das Riemannsche Integral (mit Ober- und Untersumme) eingeführt worden sein. Weiterhin der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Das darfst du dann in einer Klausur auch verwenden. Meiner Meinung nach ...
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Christoph (mendax)
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Nummer des Beitrags: 6
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Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 22:54:   Beitrag drucken

Nach den Ferien kommt für mich das zweite Semester, aber ich muss dich leider enttäuschen, weil mir Begriffe wie uneigentliche Integrale nicht bekannt sind. Ganz davon abgesehen, dass ich mit meinen Kenntnissen nicht in der Lage wäre, dass Integral von 1/n*logn zu berechnen.
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Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1439
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 11. August, 2003 - 23:53:   Beitrag drucken

Okay, das ist ziemlich ungewöhnlich, dass ihr im SS mit dem 1. Semester beginnt!

Das "uneigentliche Integral" brauchst du nicht. Du musst lediglich wissen, dass log(log n) gegen unendlich geht. Außerdem natürlich, dass die Ableitung von log(log n) gleich 1/(n log n) ist. (Kettenregel! .. und der bereits zitierte Hauprsatz)

Gebe aber zu, dass die Aufgabe für eine Klausur nach dem 1. Semester ziemlich hinterhältig ist.
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Mendax (mendax)
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Nummer des Beitrags: 7
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. August, 2003 - 18:31:   Beitrag drucken

Hauptsache durch! :-)
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Mendax (mendax)
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Nummer des Beitrags: 8
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. August, 2003 - 22:04:   Beitrag drucken

Reihe

Schau mal bitte
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Nummer des Beitrags: 2407
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 10:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,hi Mendax

Das von Mendax präsentierte Beispiel ist ein bekanntes
Paradebeispiel, das in den einschlägigen Vorlesungen
oder in den entsprechenden Übungen dazu einen festen
Platz einnimmt.
Auch in zahlReich ist es mindestens schon dreimal
aufgetaucht und von bestens ausgewiesenen Mitarbeitern
ausführlich besprochen worden, sogar in der etwas
allgemeineren Gestalt (Originalzitat):
Für welche a konvergiert
sum n=2 bis oo [ 1 / (n* (log n)^a)] ?
In der Regel wird von zwei Lösungsmethoden
Gebrauch gemacht:
a)
Verwendung des Integralkriteriums von Maclaurin-Cauchy
b)
Verwendung des Cauchyschen Verdichtungssatzes.

Das zweite Verfahren scheint mir für Anfänger gut
geeignet zu sein; auf Wunsch werde ich den
Lösungsgang vorführen.

Erwähnenswert ist die Herkunft solcher Beispiele.
Iterierte Logarithmen ln[ln(n)] beliebiger Tiefe
im Nenner benützten schon Morgan und
Bertrand (1842).
Nach Bertrand wird ein entsprechendes
Konvergenzkriterium benannt, aber das ist eine
andere Geschichte

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2408
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 10:17:   Beitrag drucken

Hi Mendax,

Deine Spinnerei ist sehr wohl brauchbar. Es ist genau die Quintessenz des Verdichtungssatzes von Cauchy.

Bravo ! *
MfG
H.R.Moser,megamath
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Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1440
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 17:17:   Beitrag drucken

Ich schließe mich dem Bravo an!
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Mendax (mendax)
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Benutzername: mendax

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 16:34:   Beitrag drucken

Hallo megamath,
mich würde interessieren, für welche a die Reihe im allgemeinen Fall konvergiert? Denn mein Problem schrammt, wie Zaph bereits erwähnt hat, knapp an der Konvergenz vorbei.
Gruß
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2419
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 17:15:   Beitrag drucken

Hi Mendax,

Du hast das Verhalten der Reihe richtig erfasst,
und gemerkt, dass es zur Konvergenz nicht
mehr viel braucht.
Das siehst Du an dem von mir zitierten
allgemeineren Beispiel mit dem Exponeneten a>0
Die folgenden Ausführungen stammen von clemens
und sind dem Archiv entnommen:

Zitat Anfang:

Frage von B.
a) Für welche a konvergiert
S n=0 bis oo [ 1 / (n* (log n)^a)] ?
Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 02:27:




Antwort von clemens(TF bereinigt)
zu a): n muß von 2 weggehen, sonst ist das Glied nicht definiert.
Nimm den Cauchy'schen Verdichtungssatz: Eine Reihe
S[n=1,oo]a(n)
konvergiert genau dann wenn die Reihe
S[k=1,oo]2^k a(2^k) konvergiert.
Du musst also jetzt die Konvergenz von
(log2)^a * S[n=1,oo]1/(2^((a-1)k)k^a) untersuchen.
Für a<=1 sieht man schnell die Divergenz (harmonische Reihe)
Für a>1 kann man den Ausdruck nach oben mit 1/k^a abschätzen
und bekommt so über das Minorantenkriterium die Konvergenz der
ursprünglichen Reihe. n=2 bis oo [ 1 / (n* (log n)^a)]

Zitat Ende.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mendax (mendax)
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Benutzername: mendax

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 00:02:   Beitrag drucken

Danke :-)
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Dj_förster (Dj_förster)
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Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 15:02:   Beitrag drucken

Summe von 1 bis unendlich von der Reihe:
(n+4)/n²-3n+1)
Das soll über das Minorantenkriterium funktionieren! Bloß wie?
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 1483
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. September, 2003 - 19:06:   Beitrag drucken

Bitte keine N E U E N Fragen mehr in diesen Thread
durch n kürzen und mit 1/n vergleichen

(1 + 4/n) /( n - 3 + 1/n) ?> 1/n

n + 4 ?> n - 3 + 1/n

na, und das ">" gilt schon ab n=3,
1/n ist also eine ( divergente ) Minorante
(
für n < 3 hätte die mult. der Ungleichung mit
n - 3 + 1/n das ">" zu "<" gemach
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2694
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. September, 2003 - 06:46:   Beitrag drucken

Hi,

Solange es um die Frage nach Konvergenz oder Divergenz geht,
brauchst Du Dich um das Verhalten der Glieder am Anfang
nicht zu kümmern.
Das macht gar nichts, wenn die Nummern 2,3 (!) etc aus der Reihe
tanzen und sich der Ordnung nicht fügen wollen.
Solange die Anzahl solcher Querulanten endlich ist, macht das nichts.
Das infinitäre Verhalten einer Reihe und Ihre Struktur im Sinne von
ad infinitum ist das Entscheidende.
Ich unterstelle Niemandem, dass er das nicht weiß!
Es schadet aber nichts, darauf hinzuweisen.

Die Aufgabe selbst lässt sich ganz ohne Umschweife lösen.
Herstellung einer Minorante:
Verkleinere den Zähler, indem Du 4 subtrahierst
Vergrößere den Nenner, indem Du 3n -1 addierst
Alsdann: kürze mit n.

Mit freundlichen Grüßen

H.R.Moser,megamath
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babaanne
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 27. November, 2005 - 13:42:   Beitrag drucken

ich möchte eine beispiel aufgabe zur CAUCHYSCHEN VERDICHTUNGSSATZ, weil ich es einfach nicht versehen kann.
KANN mir jemand helfen

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