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determinante einer NxN matrix

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Matrizen » determinante einer NxN matrix « Zurück Vor »

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Sebastian Schüppel (bastel)
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Neues Mitglied
Benutzername: bastel

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 12:02:   Beitrag drucken

Hi ich hab eine NxN matrix
(00..01)
(00..10)
(......)
(01..00)
(10..00)
die auf der nebendiagonale nur einsen hat.

kann mir da jemand helfen.

MfG bastel
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Georg (georg)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 155
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 12:57:   Beitrag drucken

Diese Nachricht wollte ich eigentlich löschen, bin aber anscheinend zu dumm dazu.


(Beitrag nachträglich am 23., Juli. 2003 von Georg editiert)
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katja (nougatmaus)
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Benutzername: nougatmaus

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 18:36:   Beitrag drucken

Hi!
Also die determinante ist -1.
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Sebastian Schüppel (bastel)
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Benutzername: bastel

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juli, 2003 - 13:11:   Beitrag drucken

danke katja, aber kannst du mir auch bitte deinen lösungsweg aufzeigen
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Panther (panther)
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Benutzername: panther

Nummer des Beitrags: 95
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juli, 2003 - 15:58:   Beitrag drucken

das ist ganz einfach:
du hast ja immer 0*0*...*0=0
nur in einer "Diagonale" hast du 1*1*...*1
und weil das eine Diagonale ist, die minus gerechnet werden muss, ist die Determinante = -1
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katja (nougatmaus)
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Benutzername: nougatmaus

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juli, 2003 - 19:13:   Beitrag drucken

Hi!

Du wendest hier die Regel nach Sarrus}} an.
Du multiplizierst die werte jeder Diagonalen.die werte der diagonalen von links oben nach rechts unten addierst du zusammen und davon substrahierst du die werte der diagonalen von rechts oben nach links unten.
Am besten du siehst mal in einem Buch nach, die können das etwas besser erklären als ich. :-)
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Panther (panther)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther

Nummer des Beitrags: 96
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juli, 2003 - 20:26:   Beitrag drucken

Hallo!

Ich hab grad in meinen Uni-Unterlagen nachgelesen, dass man die Regel von Sarrus nur bei dreireihigen Determinanten anwenden darf. (Obwohl ich es vorhin auch nicht anders gemacht habe). Dort habe ich auch herausgefunden, dass man zuerst die Spaltenentwicklung anwenden muss, solange bis man eine dreireihige Determinante hat, erst dann kann man die Regel von Sarrus anwenden.
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Klaus (kläusle)
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Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 462
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 08:24:   Beitrag drucken

Hi

Man muss eine Fallunterscheidung machen:

Wenn die Matrix eine gerade Anzahl von Zeilen und Spalten hat, dann ist der Wert der Determinante 1 (z.B. der Fall für eine quadratische 4 reihige Matrix. Hier kann man z.B. nach der 1.Zeile entwickeln und anschließend die Regel von Sarrus anwenden).

Wenn die Anzahl ungerade ist, ist der Wert -1.
Z.B. für eine quadratische 3-reihige Matrix. Einfach Regel von Sarrus anwenden.


MfG Klaus
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katja (nougatmaus)
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Benutzername: nougatmaus

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 10:20:   Beitrag drucken

Hi!

Ich glaub nicht, dass man unbedingt eine Fallunterscheidung machen muss. Die determinante ist -1, und es gibt verschiedenen möglichkeiten es zu berechnen. du kannst es auch mit dem entwicklungssatz von laplace berechnen.
Die regel von sarrus kannst du für alle quadratische matrizen anwenden, es ist bloß sehr aufwendig je größer die matrix ist. ich versuch es dir zu erklären. sei deine matrix 4x4 und hat in der nebendiagonalen alles einsen. Dann schreibst du hinter deine matrix den ersten, zweiten und dritten spaltenvevtor noch einmal.
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 1 0 0

und nun kannst du die regel anwenden. Die Koeffizienten längs der "hauptdiagonalen" und ihre parallelen ergeben dann die summanden mit positivem vorzeichen, die koeffizienten längs der "nebendiagonalen" und ihre parallelen ergeben die summanden mit negativem vorzeichen.
Bei unserem bsp.: det(A)= 0+0+0+0-1-0-0-0 =-1
(schon die ausgerech-
netten diagonalen)
Also man kann die regel für alle matrizen anwenden, aber es ist sehr aufwendig und deswegen steht in den büchern nur bis 3x3. es ist deine entscheidung, wie du determinanten berechnest. es gibt mehrere möglichkeiten.

MfG Katja}
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Klaus (kläusle)
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Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 463
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 10:58:   Beitrag drucken

Hi



Nach meinen Berechnungen kommt bei einer 4-reihigen Matrix der Wert +1 raus

Siehe hier:
image/bmp
quadratische 4 reihige Matrix.JPG (192.1 k)

MfG Klaus
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Klaus (kläusle)
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Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 464
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 10:58:   Beitrag drucken

aus Versehen 2mal gepostet...

(Beitrag nachträglich am 25., Juli. 2003 von Kläusle editiert)
MfG Klaus
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Panther (panther)
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Benutzername: panther

Nummer des Beitrags: 97
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 15:33:   Beitrag drucken

Hallo!

Also, ich bekomm für das Bsp.4x4 Matrix auch -1 raus, wenn ich es mit der Regel von Sarrus mache. Mit Entwicklung bekomme ich auch +1 raus.
Was ist jetzt richtig?
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Stefan Ott (sotux)
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Benutzername: sotux

Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 15:40:   Beitrag drucken

Hi,
ich hab mal im Bronstein geblättert, die Sarrus-Regel gilt definitiv nur bis n=3. Da gibts aber noch viel mehr schöne Regeln nachzulesen, am besten für diese Aufgabe gefällt mir, dass sich das Vorzeichen der Determinante rumdreht, wenn man Zeilen vertauscht !
Wenn ich jetzt nacheinander die erste und die letzte Zeile, dann die zweite und die vorletzte usw. vertausche, bekomme ich nach entier(n/2) Vorzeichenwechseln eine Einheitsmatrix, deren Determinate bekanntlich 1 ist. Also muss die gesuchte Determinate gerade (-1)^[n/2] sein.
Wer die Schreibweise nicht kennt: [x]=entier(x)= größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist. Wenn man es ohne die entier-Funktion hinschreiben will, braucht man also doch eine Fallunterscheidung.

sotux
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Klaus (kläusle)
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Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 465
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 15:40:   Beitrag drucken

Hi Katja, Hi Panther


Also ich denke, dass die Regel von Sarrus wirklich NUR für 3-reihige quadratische Matrizen gilt. Ansonsten immer nach Laplace entwickelt werden muss. So habe ich es gelernt.

Demnach wäre +1 die richtige Lösung.


MfG Klaus
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Klaus (kläusle)
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Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 466
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 15:50:   Beitrag drucken

Hi nochmal


In Anlehnung an das Vertauschen der Spalten:
Wenn 2mal vertauscht wird, ist das Vorzeichen wieder dasselbe.
Man vertausche Spalte 1 mit Spalte 4 und Spalte 2 mit Spalte 3. Dann erhält man wie schon von sotux gesagt, eine Einheitsmatrix. Deren Wert ist bekanntlich 1 oder eben das Produkt der Hauptdiagonalen (wie bei einer Dreiecksmatrix).

Damit dürfte dies klar sein


MfG Klaus
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Klaus (kläusle)
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Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 467
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 15:54:   Beitrag drucken

Achso:
Meine beiden letzten Postings beziehen sich auf n = 4
MfG Klaus
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Panther (panther)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther

Nummer des Beitrags: 98
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 16:17:   Beitrag drucken

Hallo Klaus,

ich habe ja in meinem ersten Posting bereits geschreiben, dass die Regel von Sarrus nur für n=3 gilt.

Ich habs nur mal ausprobiert, was rauskommen würde - aber wie man sieht, kommt ja das falsche Ergebnis raus.


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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 638
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 26. Juli, 2003 - 17:22:   Beitrag drucken

Hallo,

Bezeichne die fragliche NxN-Determinante mit DN.
Dann ist D1=1, D2=-1. Entwickelt man nun DN
z.B. nach der ersten Zeile, so erhält man

DN = (-1)N-1DN-1.

Nach dieser Rekursionsformel ergibt sich (Induktion !)

DN = (-1)N(N-1)/2


mfG Orion

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