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Riemannsche Zetafunktion

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Christian Schmidt (christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1336
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 16:36:   Beitrag drucken

Hallo,

ich habe schon vor längerer Zeit gehört, dass man die Riemannsche Zetafunktion analytisch fortsetzen kann. Was genau bedeutet das und wie macht man das speziell bei der Zetafunktion??

MfG
C. Schmidt
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 770
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 18:02:   Beitrag drucken

Hi Christian,

wir kennen doch die herkömliche definition der Zetafunktion:

Zeta(s)=S¥ i=1(1/i^s)

wobei wir s>1 stehts betrachtet haben.
Nun haben sich aber sich schlaue Mathematiker überlegt, das es ja etwas blöde sei, nur die Funktion für positive reelle Zahlen zu betrachten. Und haben sich irgendwie überlegt, das man ja die Funktion auf ganz R und sogar auf ganz C betrachten könnte. Sie haben sie "analytisch fortgesetzt". Dann gilt aber die obiege Funktionvorschrift nicht mehr.

Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1338
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 18:19:   Beitrag drucken

Hi Niels

Ja genau, und diese Fortsetzung suche ich. Ich habe zum Beispiel auch noch gelesen, dass die Fortsetzung (wenn man die Funktion auf ganz C betrachten will) eindeutig ist.

MfG
C. Schmidt
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Orion (orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 632
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juli, 2003 - 08:25:   Beitrag drucken

Hallo,

Das beruht auf der berühmten Funktionalgleichung von z(z):

z(1-z)=

21-zp-zG(z)cos(pz/2)z(z)
mfG Orion
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 771
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juli, 2003 - 10:34:   Beitrag drucken

Das ist aber nicht die einzige Möglichkeit,

man könnte auch eine LAURENTentwickllung in der punktierten Ebene C-{1} zugrunde legen.

z(s)=(1/(s-1))+c+a1(s-1)+a2(s-1)²+....

Wobei c die Euler-Mascheronische Konstante darstellt.

Gruß N.

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