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Manfred (madox)
Mitglied Benutzername: madox
Nummer des Beitrags: 22 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 16:39: |
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Könnte sich vielleicht jemand anschaun ob folgende Grenzwerte stimmen? 1)lim(x->0) (1/sinx-1/x)=(x-sinx)(x*sinx)=(0/0) also kann man L'Hospital anwenden: (1-cosx)/(x*cosx+sinx)= (sinx)/(2*cosx-x*sinx)=(sinx/x)/((2cosx/x)-((x*sin x)/x) =1/0=unendlich 2)lim(x->0) xlnx=1*lnx+x*(1/x)=lnx+1=lnx 3)lim(x->0)(1-cosx)/x²=sinx/2x=((sinx/x)/(2x/x))=1 /2 Manfred |
Ingo (ingo)
Moderator Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 655 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 01:47: |
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1) Dir ist sicher bekannt, daß sin(0)=0 und sin'(0)=1, folglich läßt sich sin(x) in einer hinreichend kleinen Umgebung von x=0 durch x aproximieren. Also gilt limx->0(1/sin(x) - 1/x)=0 (geht auch mit L'Hospital. Dein Fehler liegt im letzten Schritt. Du hast einmal zuviel abgeleitet) 2) limx->0xln(x) = limy->¥-ln(y)/y = limy->¥(-1/y) = 0 3) ist richtig, wobei ich im letzten Schritt einfach noch einmal abgeleitet hätte. ... = limx->0cos(x)/2 = 1/2
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1423 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 18:31: |
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Die Begründung von Ingo stimmt so leider nicht! Beispiel: f(x) = x + x² Dann ist f(0) = 0 und f '(0) = 1. Aber limx -> 0 (1/f(x) - 1/x) = -1. Manfreds Berechnung ist bis sinx/(2 cos x - x sin x) korrekt. Dieser Term ist von der Form "0/2". Also ist der Grenzwert 0. |
Ingo (ingo)
Moderator Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 656 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 01:29: |
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hm...stimmt, hätte zusätzlich noch f ''(0)=0 zeigen müssen, denn unter den von mit genannten Voraussetzungen gilt nur limx->0(1/f(x) - 1/x) = -f ''(0)/2 (Was allerdings auch wiederum mit L'Hospital beweisbar ist. Der allgemeinen Fall erscheint mir aber übersichtlicher zu handhaben zu sein)
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