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Grenzwerte

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Manfred (madox)
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Mitglied
Benutzername: madox

Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 16:39:   Beitrag drucken

Könnte sich vielleicht jemand anschaun ob folgende Grenzwerte stimmen?
1)lim(x->0) (1/sinx-1/x)=(x-sinx)(x*sinx)=(0/0) also kann man L'Hospital anwenden: (1-cosx)/(x*cosx+sinx)= (sinx)/(2*cosx-x*sinx)=(sinx/x)/((2cosx/x)-((x*sin x)/x)
=1/0=unendlich
2)lim(x->0) xlnx=1*lnx+x*(1/x)=lnx+1=lnx
3)lim(x->0)(1-cosx)/x²=sinx/2x=((sinx/x)/(2x/x))=1 /2
Manfred
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Ingo (ingo)
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Moderator
Benutzername: ingo

Nummer des Beitrags: 655
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 01:47:   Beitrag drucken

1) Dir ist sicher bekannt, daß sin(0)=0 und sin'(0)=1, folglich läßt sich sin(x) in einer hinreichend kleinen Umgebung von x=0 durch x aproximieren. Also gilt
limx->0(1/sin(x) - 1/x)=0
(geht auch mit L'Hospital. Dein Fehler liegt im letzten Schritt. Du hast einmal zuviel abgeleitet)

2) limx->0xln(x) = limy->¥-ln(y)/y = limy->¥(-1/y) = 0

3) ist richtig, wobei ich im letzten Schritt einfach noch einmal abgeleitet hätte.
... = limx->0cos(x)/2 = 1/2
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Zaph (zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1423
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 23. Juni, 2003 - 18:31:   Beitrag drucken

Die Begründung von Ingo stimmt so leider nicht!

Beispiel:

f(x) = x + x²

Dann ist f(0) = 0 und f '(0) = 1.

Aber limx -> 0 (1/f(x) - 1/x) = -1.

Manfreds Berechnung ist bis

sinx/(2 cos x - x sin x)

korrekt. Dieser Term ist von der Form "0/2". Also ist der Grenzwert 0.
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Ingo (ingo)
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Moderator
Benutzername: ingo

Nummer des Beitrags: 656
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juni, 2003 - 01:29:   Beitrag drucken

hm...stimmt, hätte zusätzlich noch f ''(0)=0 zeigen müssen, denn unter den von mit genannten Voraussetzungen gilt nur

limx->0(1/f(x) - 1/x) = -f ''(0)/2

(Was allerdings auch wiederum mit L'Hospital beweisbar ist. Der allgemeinen Fall erscheint mir aber übersichtlicher zu handhaben zu sein)

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