| Autor |
Beitrag |
    
Nicole (nixal)
Mitglied
Benutzername: nixal
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juni, 2003 - 19:15: | 
|
Bitte helft mir bei diesem BSP: Sei g: (0,unendlich)->IR monoton mit g(uv)=g(u)+g(v) für alle u,v>0. Dann gibt es ein c in IR sodass g(u)=c*logu für alle u>0.
lg
nixal |
Stefan Ott (sotux)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sotux
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juni, 2003 - 22:16: |
|
Hallo Nicole,
ich weiß nicht ob es die eleganteste Lösung ist aber versuch doch mal nach folgender Skizze vorzugehen:
Wenn du anstelle der Summenregel g(uv)=g(u)+g(v) die Produktregel g(u^v)=v*g(u) hättest, wärst du schon fertig, du bräuchtest nur c=g(basis) zu setzen.
Leider ist die Produktregel nur für v aus N direkt ablesbar, indem man die Summenregel mehrfach anwendet. Genauso kann man aber auch zeigen, dass es für v=1/k,k aus N, gelten muss und damit insgesamt für v aus Q.
Für den Übergang nach R brauchst du jetzt die Monotonie. Wegen der Summenregel muss gelten g(1)=0. g muss dort auch stetig sein, denn monotone Funktionen können ja höchstens springen und die Summenregel würde einen Sprung um eps>0 in 0 überallhin tragen, was nicht sein kann. Die Stetigkeit in 0 liefert die Stetigkeit überall, d.h. die Produktregel lässt sich von Q auf R ausdehnen und du bist fertig !. |
|
