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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2129
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Juni, 2003 - 15:06: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nummer XX der lockeren Folge:
Gegeben ist wiederum die Gleichung der Schlinge
in Polarkoordinatenform aus der Nr XIX:
r = a [sin(phi)]^2 , a>0, 0<= phi <= Pi
Man Berechne die Gesamtlänge L der Kurve
für einen geschlossenen Umgang.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 722
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Juni, 2003 - 18:09: |
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Ich denke,
da kann man doch eine kleine Fertigformel für die Bogenlänge einer Funktion in Polarkoordinaten verwenden oder?
Mein Vorschlag:
mann verwende die Formel:
òf1 f2 Ö([F(f)]²+[F'(f)]²)df
was meint ihr?
Gruß N.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 763
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 02:54: |
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Hi,
aus Zeitgründen (man schon wieder so spät), möchte ich sagen das dieses die Formel ist die auch in meinen Unterlagen steht! Also Niels, hau rein und präsentiere uns ein mögliches Ergebnis! Bin schon gespannt!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 765
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 12:21: |
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Hi ihr beiden  ,
ich hab das mal durchgerechnet und hab sogar ein ganz passables Ergebniss, sieht zwar wirr aus, aber überprüft das mal, ob ihr dasselbe habt:
L={ 2 - [ln((-Ö3+2)/(Ö3+2))]/Ö12 } *a [~2,76*a]
mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2132
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 14:39: |
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Hi Ferdi,
Wegen einer Grossgrillade,an der ich teilnehmen musste,
kommt meine Antwort mit Verspätung !*
Dein Resultat stimmt auffallend,
meine Glückwünsche
Ich habe auch dasselbe exakte Resultat,das Du notiert hast
und zu Kontrollzwecken einen Näherungswert:
L ~ 2,760345996
°°°°°°°°°°°°°°°
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 727
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 18:52: |
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Hallo ihr beiden,
ich hatte ebenfalls wegen einer Grillarde heute kaum Zeit, schließe mich aber euren Ergebnissen an!
Habe das gleiche raus!
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2137
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 19:39: |
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Hi Niels,
Bravo !
das ist die Dreieinigkeit !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 769
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 12:28: |
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Hallo nochmal an alle:
Hier kommt eine kurze Herleitung des Ergebnisses:
Wir benutzen Niels seine schöne Formel:
òp1 p2 Ö(F(p)²+F'(p)²) dp
Hier mit F(p)= a * sin(p)²
und F'(p)= 2 * a * sin(p) * cos(p)
der Integrand verläuft von 0 bis p
Los gehts:
ò0 p Ö((a²*sin(p)4)+(4*a²*sin(p)²*cos(p)²)) dp
Erstmal unter der Wurzel mächtig aufräumen:
ò0 p a*sin(p) Ö((sin(p)2)+(4*cos(p)²)) dp
Jetzt sieht das geschulte Auge: sin(p)²=1-cos(p)²
ò0 p a*sin(p) Ö(1-cos(p)²+4*cos(p)²) dp
ò0 p a*sin(p) Ö(1+3*cos(p)²) dp
Dieses Integral schreit gerade zu nach Substitution:
Ö3*cos(p)=u
dp=du/(Ö3*sin(p))
Schliesslich:
a/Ö3 ò Ö(1+u²) du
Dieses Integral ist wohlbekannt! Man erhält schliesslich als Stammfunktion:
a/Ö3 * [ (Ö3*cos(p))/2 * Ö(1+3*cos(p)²) + ln( Ö3*cos(p)+Ö(1+3*cos(p)²) ) ]
Puh...geschafft!
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 729
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 15:08: |
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Falls es nötig sein sollte stelle ich auch noch eine kurze Herleitung meiner kleinen Formel ins Netz.
Nur bei bedarf versteht sich...
Gruß N.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2143
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 15:37: |
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Hi Niels,
Ja,mach das;das können wir schon brauchen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 730
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 16:32: |
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Hi megamath,
in Ordnung, ich werde noch heute eine ausführliche Herleitung ins Board stellen.
habe aber derzeit wenig Zeit!
Bis dann
mfg
Niels |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 731
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 07:39: |
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so Freunde,
ich habe es leider gestern doch nicht mehr ganz geschaft. Nun ist er Beweis aber fertig!
schaut euch das Skript an, teilt mir eventuelle Fehler mit!
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 732
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 12:59: |
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Inzwischen existiert eine Version 1.1 des Skriptes. Ich habe alles nochmal überarbeitet und jetzt auch das problem mit den Integralgrenzen gelöst....
Wer interesse hat kann ich das Skript schicken.
Gruß N. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 777
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 14:27: |
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Hi Niels,
das interesiert mich! Nur mit welchem Programm kann ich die Datei betrachten? Mit Acrobat Reader funzt das nicht.
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 733
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juni, 2003 - 14:42: |
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Hi Ferdi,
die Postscript Datei kannst du dir mit Ghostview anschauen.
Falls du nicht Ghostview und Ghostscript installiert hast, kannst du unter folgender Adresse die Programme kostenlos downloaden:
http://www.ghostview.de/
Ich schicke dir mal Version 1.1 des Skriptes, vielleicht hast du ja noch änderungswünsche.
Gruß N.
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 736
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Juni, 2003 - 13:17: |
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Und hier ist die Version 1.1 des obigen skriptes im PDF Format:
Anmerkungen, Hinweise auf Fehler einfach per Mail an mich senden!
(Adresse ist im Profil zu finden)
Gruß N |
Bogenlänge Polarkoordinatendarstellung
Bogenlänge
