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LF XVI: Bogenlänge und Fläche bei ein...

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2114
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 14:18:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Hier kommt sie, die Nummer XVI der lockeren Folge,
diesmal zur Abwechslung aus der Analysis.

Gegeben ist die Kurve y = - ln (1- x^2)

a)
Berechne die Bogenlänge L der kurve
von A bis B;
für A gilt x = 0, für B gilt x = p mit
0<p<1.

b)
Berechne für dasselbe x-Intervall die Fläche J = J(p)
zwischen der Kurve und der x-Achse.
Existiert der Grenzwert von J(p) für p strebt gegen 1?

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 521
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 14:46:   Beitrag drucken

a)

y' = 2x/(1-x^2)

1 + (y')^2 = 4x^2/(1-x^2)^2 + (1-x^2)^2/(1-x^2)^2
= (4x^2 + 1 - 2x^2 + x^4)/(1-x^2)^2
= (1+x^2)^2/(1-x^2)^2

sqrt(1 + (y')^2) = (1+x^2)/(1-x^2)

(1+x^2)/(1-x^2) = (-1+1+1+x^2)/(1-x^2)
=-(1-1-1-x^2)/(1-x^2) = -1 - (-2)/(1-x^2) = -1 + 2/(1-x^2)

2/(1-x^2) = A/(1-x) + B/(1+x)

2 = A(1+x) + B(1-x)
A+B = 2
A-B = 0
=> A = B = 1
daher INT sqrt(1+(y')^2) dx = -x + ln(1+x) + ln(1-x) + C

und die Bogenlänge ist ln(1-p^2)-p
b) macht wer anderer :-)


Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1310
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 15:02:   Beitrag drucken

Hi

Bei b) bekomme ich:
J(p)=-p*ln(|1-p²|)-ln(|p+1|)+ln(|p-1|)+2p

Für p gegen 1 als Fläche
J(1)=-2*ln(2)+2

MfG
C. Schmidt
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 745
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 15:03:   Beitrag drucken

Hi,

b) mach ich gerne!

Das Integral lässt sich aufspalten:

ò0 1 -ln(1-x^2) dx <=> -ò0 1 ln(1-x)+ln(1+x) dx


J(p)=2p+[(1-p)*ln(1-p)]-[(1+p)*ln(1+p)]

Das liefert mit dem bekannten Grenzwert lim p->1 (1-p)*ln(1-p) = 0 , den wie immer sehr schönen Wert:

J= 2 - 2 ln 2 (~0,6137)
{oder für Ästheten 2 - ln 4 }

mfg

@Christian: Zwei Dumme, ein Ergebnis *gg*


(Beitrag nachträglich am 03., Juni. 2003 von tl198 editiert)
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2115
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 15:08:   Beitrag drucken

Hi Walter,Hi Christian

Bravo;
ich bin beruhigt,weil ich dieselben Resultate habe.
Bis zum nächsten Mal!*

MfG
H.R.Moser,megamath

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