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Sigma-Algebra

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Christian Schmidt (christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1078
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. März, 2003 - 16:52:   Beitrag drucken

Hab zur s-Algebra eine Frage. Eine s-Algebra ist ja durch folgende 3 Eigenschaften definiert:
Man hat eine Menge W gegeben.
Wenn für die Elemente Mi (Teilmengen von W) der Klasse S gilt
1. es ist Ø aus S und W aus S,
2. die Komplemente der Elemente von S bezüglich W sind ebenfalls Elemente von S,
3. Die Vereinigung abzählbar vieler Elemente Mi von S ist wieder ein Element von S,
dann heißt S eine s-Algebra auf W.

Jetzt habe ich hier stehen, dass die Menge J auf R eine s-Algebra(Borelsche) erzeugt.
J:={[a,b[ | a und b aus R und a£b})
In J sind also die nach rechts halboffenen Intervalle enthalten.
Ich verstehe jetzt nicht, warum hier die Punkte 2 und 3 erfüllt sind. Hat da vielleicht jemand einen Beweis zu??

MfG
C. Schmidt
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Christian Schmidt (christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1089
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. März, 2003 - 12:10:   Beitrag drucken

Keiner ne Idee?

Ich hab übrigens das gleiche Problem, wenn ich mir Topologien anschaue. Da sollen die auf beiden Seiten offenen Intervalle eine Topologie auf R bilden. Hab ich jetzt zum Beispiel die Intervall ]1,2[ und ]3,4[, dann ist die Vereinigung ja eigentlich kein richtiges Intervall mehr, dürfte also keine Teilmenge der Topologie sein?

MfG
C. Schmidt
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Orion (orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 517
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 31. März, 2003 - 08:46:   Beitrag drucken

Christian,

Dies wäre vielleicht eine Idee:

[a,b[c = ]-¥,a[ v [b,¥[.

Die rechte Seite sollte sich als abzählbare Vereinigung
halboffener Intervalle schreiben lassen, z.B: ]-¥,a[
als Vereinigung aller [-n,a[, n€N ?


mfG Orion
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Levi (levi)
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Mitglied
Benutzername: levi

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 31. März, 2003 - 10:59:   Beitrag drucken

Da ich mich auch gerade mit Topologien beschäftige, würde mich Dein zweites Problem interessieren.
Woher hast Du denn die Behauptung, dass alle offenen Intervalle in R eine Topologie bilden?


Ich habe das bisher so verstanden:

Die natürliche Topologie in R besteht aus allen offenen Mengen in R, das können auch Vereinigungen von disjunkten offenen Intervallen sein.

Die Menge der offenen Intervalle bildet lediglich eine Basis B für die natürliche Topologie; dass heißt, das sich jede offene Menge als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt.
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Christian Schmidt (christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1096
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 31. März, 2003 - 12:31:   Beitrag drucken

Hi!

Vielen Dank schonmal für eure Antworten.
Erstmal zu den Topologien.
Das ganze war aus einem Buch von mir, aber ich glaube du hast recht, ich hab das wohl einfach falsch verstanden. Hier trotzdem mal der genaue Text:
Jedes offene Intervall ist eine offene Menge. Man sagt deshalb auch, dass die Menge der reellen Zahlen durch die offenen Intervalle mit einer Topologie versehen wird
Ich kannte den Begriff der Basis nicht, soll aber sicher hier so gemeint sein(sonst stimmts ja irgendwie nicht...).

Jetzt zu Orion.
Ich denke das ist schonmal eine gute Idee mit der Vereinigung. Dann hat man ja die Vereinigung abzählbar vieler Elemente. Ein anderes Problem lag bei mir aber wie bei den Topologien auch in der gesamten Definition, denn zum Beispiel ist die Vereinigung von [1,3[ mit [5,7[ ja kein richtiges Halboffenes Intervall mehr, sondern die Vereinigung zweier disjunkter halboffener Intervalle.

MfG
C. Schmidt

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