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Vollst. Ind. Taylor n-te Ableitung

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Timo Meinen (timomeinen)
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Neues Mitglied
Benutzername: timomeinen

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 10:29:   Beitrag drucken

Hallo,

es geht um eine Taylor-Reihen-Entwicklung, wofür die n-te
Ableitung gegeben ist.

f(x) = x^2 * e^(-x)

Man zeige:
f(n)(x) = (-1)^n e^(-x) (x^2 - 2nx + (n - 1)n)
n element N0
indem man diese Formel durch Vollständige Induktion bestätigt.

Den Induktionsanfang bekomme ich hin, aber beim Induktionsschluss habe
ich Schwierigkeiten die Bedingung einzusetzen.

Vielen Dank
Timo
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Levi (levi)
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Mitglied
Benutzername: levi

Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 11:13:   Beitrag drucken

Behauptung:
f(n+1)(x)=f(n)'(x)

Induktionsschluss:
f(n)'(x)
=Ableitung von (-1)^n e^(-x) (x² - 2nx + (n - 1)n)

(Anwendung von Produktregel)
=(-1)^n (-e^(-x)(x²-2nx+(n-1)n) + e^(-x)(2x-2n))

(-e^(-x) ausklammern)
=(-1)^n (-e^(-x)(x²-2nx+(n-1)n-2x+2n)

Jetzt musst Du noch das Minuszeichen ausklammern und den Term vereinfachen. Das überlasse ich aber mal Dir ;)

Damit ist dann gezeigt, dass die Ableitung von f(n)(x) =f(n+1)(x) ist.
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Timo Meinen (timomeinen)
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Neues Mitglied
Benutzername: timomeinen

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. März, 2003 - 09:11:   Beitrag drucken

Vielen Dank Levi,

mein Fehler war offensichtlich die Induktionsbehauptung.

Gruss
Timo

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