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Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 20:11: | 
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Also, ich brauch bitte so schnell wie möglich die Lösung für folgende aufgabe:
Ein baum ist 83,6 m hoch, in der Höhe 18m hat er dem Durchmesser 5,3m , in der Höhe von 55m nurnoch 4,3m.
Welches Volumen hat der baumstamm, wenn man ihn als kegelstumpf betrachtet.
Bitte lösung so schnell wie mölich! |
reinhard
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 20:50: |
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Hallo!
Erst müssen wir uns einmal überlegen, wie groß der Druchmesser bei den Wurzeln ist.
Von der Höhe von 18m bis zur Höhe von 55m, also innerhalb von 37m, hat sich der Durchmesser um 1m verringert. Also pro Höhenmeter verringert (oder vergrößert) sich der Durchmesser um 1/37m.
Bei einer Höhe von 18m ist der Durchmesser 5,3m. Ab Boden, also 18m tiefer, ist der Durchmesser 18/37m größer, also 5,786m.
Kegelstümpfe lassen sich leicht berechnen, indem man den ganzen Kegel ausrechnet und dann die Spitze abzieht.
Wie groß wäre also der ganze Kegel? Genau so hoch, bis der Durchmesser auf 0 geschrumpft ist.
durchmesser = höhe*1/37
höhe=durchmesser*37
5,786*37=214,1m
Der ganze Kegel wäre also 214,1m hoch und somit hätte der kegel ein Volumen von
G*h/3=(5,786)²*pi*214,1/3=7505,889m³
Der Spitz, den wir zuviel gerechnet haben, ist genau (214,1-83,6) = 130,5m Hoch und hat an seiner Grundfläche einen Druchmesser von
durchmesser=höhe*1/37
130,5/37=3,527m
Das Volumen dieses Kegels ist also
G*h/3=(3,527)²*pi*130,5/3=1700m³
Der Baumstamm hat somit ein Volumen von 7505,889m³-1700m³=5805,889m³
Reinhard |
Franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 21:10: |
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Gibt's das überhaupt?? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 22:32: |
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The largest living thing on earth ist laut Eigenwerbung der General Sherman Tree im Saquoia Nationalpark/Kalifornien. Alter: 2300 bis 2700 Jahre. Höhe: 83,5 m. Umfang am Grund: 31,5 m. Durchmesser in 80 Fuß Höhe: 5,3 m. Durchmesser in 180 Fuß Höhe: 4,3 m. Dies scheint mir so ziemlich genau der Baum zu sein, den Anonym in seiner Aufgabe beschreibt --- weiß jetzt allerdings nicht genau die Meter-Fuß-Umrechnung. Diese Angaben habe ich im Jahre 1995 abphotographiert. Und dann stand da noch: "Volume of Trunk: 1460 cu.m". Nun gibt es mehrere Möglichkeiten. 1. Die Umrechnung Meter-Fuß stimmt nicht. 2. Reinhard hat sich verrechnet. 3. Derjenige, der das Schild gemalt hat, hat sich verrechnet. 4. Die Baumform kommt der eines Kegelstumpfes nicht sehr nahe. (Letzteres kann ich anhand der restlichenm Photos, die ich vom Baum gemacht habe, nicht bestätigen.) |
Franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2000 - 22:50: |
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Kettensäge einpacken und hin!;-)) |
reinhard
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 08:18: |
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Das Längenmaß Fuß ist sehr schwamrig und variiert von 0,25 bis 0,314m. Dies kommt daher, daß man eben vor einführung des Urmeters tatsächlich seine Schuhe auszog, um eine Länge daran zu messen, wie of so ein Fuß hineinpaßte.
Ein bayrisches Fuß zum Beispiel mißt 0,2918m, wohingegen ein preußisches Fuß 0,314m mißt (angaben aus einem Lexikon). Hier gemeint ist das in den USA gebräuchliche Foot, daß 30,47m mißt.
Der Baum hat in der Höhe von 80 Fuß 5,3m durchmesser. 80 Fuß sind aber 24,376m - Womit schon wieder geklärt ist, daß der Baum, den Anonym in seiner Aufgabe beschrieb, ein ganz anderer ist, also der General Sherman Tree.
Abgesehen davon kann der General Sherman Tree garnicht Kegelstumpfartig sein (wenn er auf einem Bild so aussieht, dann ist das eine optische Täuschung oder so), da bei Kegeln der Durchmesser linear von der höhe abhängt.
Bei 180 Fuß..4,3m durchmesser
bei 80 Fuß...5,3m durchmesser
bei 0 Fuß...31,5m durchmesser
Diese Werte scheinen mir eher exonentielll als linear voneinander abhängig zu sein.
Wenn du den vierten Punkt anhand der restlichen Photos, die du vom Baum gemacht hast, nicht bestätigen kannst, dann kann ich das anhand der Mathematik.
Reinhard |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 21:52: |
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Zunächst (war gestern abend zu träge, Reinhards Rechnung nachzuvollziehen) ist der Flächeninhalt eines Kreises p(d/2)² und nicht pd². Das Volumen ist also
p[(5,786/2)²*214,1 - (3,527/2)²*130,5]/3 = 1451,5 m³.
Mein Photo ist etwas unscharf. Es könnte auch heißen "Diameter 60 ft. Above Ground: 17.5 ft (5.3 m)", dann kommt das schon wieder hin mit den 18 m. Ich bin mir ziemlich sicher, dass es der besagte Baum ist.
Am Boden ist nicht der Durchmesser, sondern der Umfang 31,5 m. Wenn der Umfang ein Kreis wäre, also 10 m Durchmesser. Das Schild sagt: Maximaler Durchmesser am Boden 11,1 m. Das ist in der Tat mehr als die oben berechneten 5,8 m ... |
Silke
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. April, 2000 - 21:24: |
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Eine Kanne besteht aus zwei Zylindern(d=15cm;h=cm und d=25cm;h=55cm) zwischen denen ein Kegelstumpf (d1=25cm;h=9,5cm;d2=15cm)liegt.
a)Wieviel Quadratzentimeter Blech wurde zur Herstellung der Kanne mindestens benötigt?
b)Wieviel Liter fasst die Kanne bis zum obersten Rand?
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?????? |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 14:59: |
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Die Höhe des ersten/oberen Zylinders fehlt noch.
V(Milchkanne)=V(Zylinder unten)+V(Kegelstumpf)+V(Zylinder oben)
V(Zylinder)=pi*d²/4*h; V(Kegelstumpf)=pi/12 *H*(d1²+d1d2+d2²)
V=pi/4*(d1²h1+d2²h2)+pi/12 *H*(d1²+d1d2+d2)²
Blechverbrauch Milchkanne mit(!!) Deckel: A=Boden Zylinder unten + Mantel Kegelstumpf + Deckfläche Zylinder oben
Seitenlinie Kegelstumpf s=WURZEL((d1-d2)²/4+H²);
A=pi*d1²/4+pi/2 *s*(d1+d2)+pi*d2²/4. |
Silke
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. April, 2000 - 12:59: |
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Hallo Franz,
sorry, die Höhe des oberen Zylinders ist 7cm. Trotzdem danke für die Formeln!!! Die helfen mir schon viel weiter!!!!!!!!!!!! |
Jörg
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. März, 2001 - 19:48: |
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Ich brauche Die Herleitung für das Volumen eines Kegelstumpfes. Die Formel darf nur von den beiden Radien des Kegelstumpfes und der Höhe abhängen. Ich habe die Lösung bereits aus meiner Formelsammlung, aber mir fehlen die Zwischenschritte der Rechnung. Daher brauche ich eine möglichst ausführliche und detailierte Herleitung mit allen Zwischenschritten. |
sailor
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 17:47: |
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Einen Kegelstumpf bekommt man, indem man von einem großen Kegel (Radius R, Höhe H) die Spitze, einen kleinen Kegel (Radius r, Höhe h) abschneidet.
Volumen Kegelstumpf ist also:
V=1/3 pi R^2 * H-1/3 pi r^2*h
=1/3 pi (R^2*H-r^2*h) Gleichung I
Höhe des Kegelstumpfs sei h', dann gilt:
h=H-h', eingesetzt in Gleichung I gibt:
V=1/3 pi (R^2*H-r^2*(H-h'))
V=1/3 pi (R^2*H-r^2*H+r^2*h') Gleichung II
Jetzt brauchst Du den zweiten Strahlensatz:
R/r=H/h oder R/r=H/(H-h')
Diese Gleichung nach H umformen gibt:
H=R*h'/(R-r), eingesetzt in Gleichung II gibt:
V=1/3 pi (R^3*h'/(R-r)-r^2*R*h'/(R-r)+r^2*h')
Wenn Du r^2*h' auch noch auf den Nenner (R-r) erweiterst, richtig ausmultiplizierst und zusammenfasst erhältst Du
V=1/3 pi * (R^3*h'-r^3*h')/(R-r)
h' ausklammern gibt:
V=1/3 pi*h'*(R^3-r^3)/(R-r) Gleichung III
Nun musst Du eine Polynomdivision machen:
(R^3-r^3)/(R-r)=R^2+R*r+r^2
eingesetzt in Gleichung III gibt:
V=1/3 pi*h'*(R^2+R*r+r^2)
Das ist die Formel, die in der Formelsammlung steht! |
Jörg
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 20:15: |
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Hi.
Vielen Dank für Deine Rechnung. Die Idee und Dein Vorgehen habe ich verstanden. Ich konnte Dir aber leider nur bis zu den Zeitpunkt folgen, wo Du den Strahlensatz angewandt hast und das Ergebnis in die bisherige Formel eingesetzt hast. Kannst Du den Teil danach noch mal etwas genauer beschreiben:
"Wenn Du r^2*h' auch noch auf den Nenner (R-r) erweiterst, richtig ausmultiplizierst und zusammenfasst erhältst Du
V=1/3 pi * (R^3*h'-r^3*h')/(R-r)
h' ausklammern gibt:
V=1/3 pi*h'*(R^3-r^3)/(R-r) Gleichung III
Nun musst Du eine Polynomdivision machen:
(R^3-r^3)/(R-r)=R^2+R*r+r^2
eingesetzt in Gleichung III gibt:
V=1/3 pi*h'*(R^2+R*r+r^2)"
Ich konnte leider die Lücken zwischen den Schritten nicht füllen. Vielen Dank im Voraus.
Jörg |
sailor
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. März, 2001 - 16:29: |
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Hi,
ich versuch's mal.
In der Gleichung
V=1/3 pi (R^3*h'/(R-r)-r^2*R*h'/(R-r)+r^2*h')
hast Du in der Klammer drei Summanden; der erste hat den Nenner (R-r), der zweite ebenfalls, den dritten, nämlich r^2*h' könntest Du auch als r^2*h'/1 schreiben.
Wenn Du den jetzt mit (R-r) erweiterst, bekommst Du (r^2*h'*R-r^3*h')/(R-r).
Jetzt steht in der Klammer:
(R^3*h'-r^2*R*h'+r^2*h'*R-r^3*h')/(R-r)
Von den 4 Summanden in der Klammer bleibt nur der erste und der vierte übrig.
Also heißt die Volumenformel jetzt
V=1/3 pi*(R^3*h'-r^3*h')/(R-r)
h' kannst Du ausklammern, gibt
V=1/3 pi*h'*(R^3-r^3)/(R-r) Gleichung III
Jetzt kommt die Polynomdivision.
(R^3 -r^3) R-r)=R^2+R*r+r^2
-(R^3-R^2*r)
R^2*r
-(R^2*r-R*r^2)
R*r^2
-(R*r^2-r^3)
0
Damit wird aus Gleichung III
V=1/3 pi*h'*(R^2+R*r+r^2)
Funktioniert's jetzt? Ich hoff's mal.
Ciao! |
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