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skrad
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 09:35: | 
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hallo zämä
wer kann mir zeigen wie ich die stammfunktion von
a) sin^2(x) dx
b) sin^3(x)*cos(x) dx
bestimmen kann?
danke |
brainstormer (brainstormer)
Moderator
Benutzername: brainstormer
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 18:04: |
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Tach,
a) ist eine Standardaufgabe und man findet die Lösung in jeder Integraltabelle, sie lautet:
S(x) = (1/2)x - (1/4)sin(2x) + C
Ich werde dir aber auch noch mal den Rechenweg über partielle Integration vorführen:
ò sin2(x)dx
wir setzen
u = sin(x) v' = sin(x)
u' = cos(x) v = -cos(x)
dann erhält man:
ò sin2dx = -cos(x)sin(x) + ò cos2(x)dx
Nun benutzen wir das fundamentale Theorem der Trigonometrie:
cos2(x) + sin2(x) = 1
=> cos2(x) = 1 - sin2(x)
das wird jetzt oben eingesetzt und man erhält:
ò sin2(x)dx
= -cos(x)sin(x) - ò sin2(x)dx + ò 1dx
wir addieren nun ò sin2(x)dx auf beiden Seiten und es ergibt sich:
2ò sin2(x)dx = -cox(x)sin(x) + x + C
also muss man nur noch durch 2 dividieren und das Ergebnis lautet:
ò sin2(x)dx = (1/2)x - (1/2)cos(x)sin(x) + C
das sieht nicht ganz so aus wie das Ergebnis der Formelsammlung, ist aber das gleiche. Wenn du es brauchst, kann ich dir das auch noch zeigen, man macht es am einfachsten mit den trigonometrischen Doppelwinkeltheoremen (ich weiß nicht, ob die Dinger auf deutsch wirklich so heißen). Ich hoffe du hast sonst alles verstanden.
b) machst du ebenfalls mit partieller Integration, hab ich jetzt aber keine Lust mehr zu ;-)
MfG,
brainstormer |
conny (conny)
Moderator
Benutzername: conny
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 12:07: |
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Hi Skrad
b) ò sin³(x)*cos(x)dx kannst du auch mittels Substitution bestimmen:
u=sin(x)
du/dx = cos(x)
<=> dx = du/cos(x)
Alles ins Integral einsetzen:
ò sin³(x)*cos(x)dx= ò u³*cos(x)*du/cos(x)
=ò u³du = 1/4*u^4 +C
Jetzt kannst du für u wieder sin(x) einsetzen:
ò sin³(x)*cos(x)dx = 1/4*sin^4(x) +C
Hoffe ich konnte dir helfen
Conny |
brainstormer (brainstormer)
Moderator
Benutzername: brainstormer
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 13:57: |
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Hi Conny,
natürlich ist dein Vorschlag sehr viel einfacher und besser als partielle Integration. Da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf ;).
MfG,
brainstormer |
