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judith
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 14:15: | 
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berechnen sie bitte das folgende Integral mittels einer geeigneten Substitution der Integrationsvariablen.
Integral in den grenzen von 0 bis 1| 1/wurzel(2-x²) dx
ich weiß nicht, wie die integrationsvaribale lauet, ich hab es mit der wurzel ausprobiert und dem unter der wurzel. ich weiß nicht, was ich sonst machen könnte, vielleicht eine winkelfunktion? bitte helft mir! bi morgen brauch ich das....
judith |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 155
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 14:31: |
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Hi judith
Ich würde einfach mit x=Wurzel(2)*t substituieren:
dx/dt=Wurzel(2)
ò1/wurzel(2-x²) dx
=Wurzel(2)*ò1/wurzel(2-2*t²) dt
=Wurzel(2)*ò1/(Wurzel(2)*Wurzel(1-t^2))dt
=ò1/Wurzel(1-t^2)dt
=arcsin(t)
Rücksubstitution:
t=x/Wurzel(2)
ò1/wurzel(2-x²) dx =arcsin(x/Wurzel(2))
Jetzt kannst du hier noch die Werte einsetzen. Als Ergebnis erhälst du 1/4*Pi.
MfG
C. Schmidt |
judith
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 19:04: |
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hmmm. kann ich leider nicht ganz nachvollziehen. wie ziehst du plötzlich den bruch auseinander? und noch eine frage, wie sind die neuen grenzen? bitte hilf mir, es ist wichtig, erklär es noch ein bißchen..... danke |
Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 19:48: |
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Hallo,
die Substitution von Christian ist durchaus clever, hat allerdings den Nachteil, dass man das Grundintegral zu 1/Wurzel(1-t^2)dt schon kennen muss.
Deshalb würde ich von Anfang an trigonemtrisch substituieren:
Setze x:= SQRT(2)sin(z)
dann ist dx/dz = SQRT(2)cos(z) <=> dx=dz SQRT(2)cos(z)
Was die Grenzen betrifft, ist es fast immer cleverer erst das unbestimmte Integral zu lösen, zu resubstituieren und dann mit den bekannten Grenzen zu rechnen.
Setzen wir also ein in
Integral (1/wurzel(2-x²)) dx
=Integral (1/SQRT(2-2sin^2(z))) dz SQRT(2)cos(z)
=Integral (1/[SQRT(2)SQRT(1-sin^2(z))] dz SQRT(2)cos(z)
=Integral (1/SQRT(cos^2(z))dz cos(z)
=Integral (1/cos(z))dz cos(z)
=Integral 1 dz
= z
Resubstitution:
es war:
x= SQRT(2)sin(z)
sin(z)=x/SQRT(2)
z=arcsin(x/SQRT(2))
F(x)= arcsin(x/SQRT(2))
F(1)= pi/4
F(0)= 0
F(1)-F(0)=pi/4
Gruß
Peter |
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