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Halbierung der Fläche

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Integralrechnung » Integral/Stammfunktion » Archiviert bis 04. April 2002 Archiviert bis Seite 17 » Halbierung der Fläche « Zurück Vor »

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paddy (paddy3k)
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Benutzername: paddy3k

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 10:03:   Beitrag drucken

Hallo allerseits!

Wie kann ich anhand der Graphen begründen, welche
der beiden Funktionen g(x) und h(x) nicht als
Stammfunktion für f(x) in Frage kommen ? Hier
ist ein Bild davon : Graphen

Ich weiß das h(x) nicht in Frage kommt, aber wie
kann ich das grafisch begründen ?

Und dann noch eine Frage (bezieht sich auch auf die oben genannten Funktionen !):

f(x) = x*sqrt(9-x) / 3

g(x) = F(x) = -2/15 * (x+6)*sqrt((9-x)3)

die X Achse und die Funktion f(x) begrenzen ja eine Fläche vollständig. Wie kann ich nun die Gerade x = a ermitteln, welche diesen Flächeninhalt genau halbiert ?

VielenDank im Vorraus !

tschüü, paddy
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Lars (thawk)
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Benutzername: thawk

Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 12-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 11:43:   Beitrag drucken

Hi Paddy.

f(x) müsste dann ja die Ableitung von g(x), bzw. h(x) sein.

f(x) hat augenscheinlich bei x = 0 eine Nullstelle, also einen Vorzeichenwechsel. Für x>0 ist f(x) auch > 0, für x<0 ist auch f(x)<0.

Damit muss die Stammfunktion von f(x) an der Stelle 0 ein Extremum haben, genauer ein lokales Minimum (Wechsel von negativer zu positiver Steigung). Damit kann h(x) nicht die Stammfunktion sein!

Ciao, Lars
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paddy (paddy3k)
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Benutzername: paddy3k

Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 12-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 12:27:   Beitrag drucken

ahh! so hab ich das noch gar nicht gesehen. Danke für den Denkanstoß ;-)

weiß noch jemand zu der Flächenhalbierung Rat ?

ciao, paddy
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Lars (thawk)
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Benutzername: thawk

Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 12-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 15:40:   Beitrag drucken

Hi paddy.

Zu der Flächenhalbierung kann ich dir auch wohl einen Denkanstoß liefern, bis zum Ergebnis habe ich mich aber gerade verrechnet. Der Ansatz müsste aber richtig sein.

f(x) ist ja nur für alle x <= 9 definiert. Für den eingeschlossenen Flächeninhalt unter zwischen f(x) und x-Achse muss dann gelten:

ò0 9 (1/3) * x * SQRT(9-x) dx


Ich drücke die gesuchte Gerade allgemein durch ax aus. Der Flächeninhalt zwischen f(x) und der Geraden muss dann ja so aussehen:

ò0 9 (1/3) * x * SQRT(9-x) - ax dx

Da dieser Flächeninhalt ja genau die Hälfte des Flächeninhalts unter f(x) betragen soll, muss die Gleichung gelten:

ò0 9 (1/3) * x * SQRT(9-x) dx = 2 * [ò0 9 (1/3) * x * SQRT(9-x) - ax dx]

Hiervon musste dann "nur" die Stammfunktionen bilden, ausrechnen und du bekommst am Ende ein a heraus.
Ich habs gerade durchgerechnet, nur dass bei mir a den Wert - 108/405 annimmt. Da die Gerade aber keine negative Steigung haben darf, muss ich mich irgendwo verrechnet haben.
Vielleicht kommst du ja zu einem passenden Ergebnis.

Viel Erfolg,

Lars
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paddy (paddy3k)
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Benutzername: paddy3k

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 12-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 16:08:   Beitrag drucken

Hi Lars!

die Gerade darf im Grunde genommen gar keinen Anstieg haben ! Also es muss praktisch eine Asymptote sein. z.B. senkrechte Gerade bei x = 5

Aber ich häng mich mal dran und danke für deine Hilfe :-) !

Gruß,
paddy
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Lars (thawk)
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Benutzername: thawk

Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 12-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 16:19:   Beitrag drucken

Hi paddy,

sorry ich hatte deine Aufgabenstellung nicht gründlich genug gelesen. Dann geht mein Lösungsweg natürlich nicht (obwohl man so auch auf eine Gerade kommen müsste, nur dass diese nicht gefragt ist).

Vielleicht fällt mir ja gleich noch was zu x=a ein...

Ciao, Lars
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Lars (thawk)
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Benutzername: thawk

Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 12-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. April, 2002 - 16:35:   Beitrag drucken

So, mit x=a ist die Sache eigentlich noch einfacher:

Die linke Seite der Gleichung bleibt gleich, auf der rechten Seite musst du schreiben:

2 * ò0 a(1/3)*x*SQRT(9-x)dx

Der halbe Flächeninhalt wird ja praktisch durch Wahl einer neuen Grenze des Intervalls ausgedrückt. Diese Grenze ist noch offen (Variable a).

Dies musst du auch wieder ausrechnen, du bekommst dann als Ergebnis neben verschiedenen Werten die außerhalb des Definitionsbereichs liegen die Lösung:

a = 5,277352561

Zumindest sagt das mein Computer.

Machs gut,

Lars
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paddy (paddy3k)
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Benutzername: paddy3k

Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 12-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. April, 2002 - 11:25:   Beitrag drucken

Super! Stimmt genau :-)
Dann kann ich jetzt wieder ruhig schlafen ;)

tschüü
paddy

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