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Paul B.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 16:35: | 
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Hallo,
Folgende Extremalaufgabe soll ausdrücklich nicht mit
Differenzialrechnung gelöst werden.
Die Aufgabe lautet.
Man ermittle das Maximum der Funktion
f(x) = (a+x)^6*(a-x)^4 im Intervall [- a , a ] .
Ich kann leider keine andere Methode finden
Für jede Hilfe möchte ich im Voraus danken.
mfG
Paul B.
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H.R.Mose,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 18:26: |
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Hi Paul
Kürzlich erschien in diesem Board eine kleine Abhandlung
über die berühmte Ungleichung A > G ;
dabei bedeutet A das arithmetische Mittel von n positiven
Zahlen x1,x2,...,xn und G das geometrische Mittel
derselben Zahlen.
Zur Lösung Deines Extramalproblems können wir es mit
dem Einsatz dieser Ungleichung versuchen, wenn wir
geschickt genug vorgehen, etwa so:
Wir nehmen uns die folgenden 10 positiven Zahlen vor:
x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = (a+x) / 6
x7 = x8 = x9 = x10 = (a-x) / 4
Das arithmetische Mittel A dieser 10 Zahlen ist
A = 1/10* [(6*a +6*x) / 6 + (4*a - 4x) / 4 ] = 1/5* a,
unabhängig von x !
Der Verdacht verdichtet sich.
Der x-Wert 1/5*a liefert das gesuchte Maximum !
Das geometrische Mittel G ist
G = (10-te Wurzel aus [{(a+x) / 6}^ 6 *{(a-x) / 4 }^ 4 }] =
Aus dem Hauptsatz G < = A folgt:
{(a+x) / 6}^ 6 *{(a-x) / 4 }^ 4 }] < = [ 1/5 * a ] ^10...........(1)
Das Gleichheitszeichen tritt nur ein , wenn
(a + x) / 6 = ( a – x ) / 4 gilt.
Aus (1) folgt sofort:
(a+x) ^ 6 * (a-x) ^ 4 < = 6^6 * 4^4 * a^10 / 5^10
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Facit: das Maximum ergibt sich für
x = 1/5 * a
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Zahlenwert für fmax = 6^6 * 4^4 * a^10 / 5^10:
fmax ~ 1,223059..*a^10.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Paul B.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. März, 2002 - 10:16: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Deine Lösung habe ich Schritt für Schritt nachvollzogen.
Der Lösungsgedanke hat mich sehr beeindruckt.
Allerbesten Dank für Deine Bemühungen !
MfG
Paul
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