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Beitrag |
    
Christian Schmidt (christian_s)
Neues Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 18:31: | 
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Jo, brauche die Stammfunktion von Wurzel(1+e^(2x)).
Vielen Dank schomal
C. Schmidt |
Vredolf Ludrian (vredolf)
Junior Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 00:12: |
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Hi,
s(x) := sqrt(1+e^(2x)) = (1+e^(2x))/sqrt(1+e^(2x))
= 1/2 * 2e^(2x)/sqrt(1+e^(2x)) + 1/sqrt(1+e^(2x))
Nun ist int(f'(x)/sqrt(f(x)))dx = 2 * sqrt(f(x))
(Überzeuge dich durch Ableiten !)
=> 1/2 * int(2e^(2x)/sqrt(1+e^(2x))dx = sqrt(1+e^(2x))
Das mal so als erster Anreiz. 
mfg, Vred |
Christian Schmidt (christian_s)
Junior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. März, 2002 - 15:23: |
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Hi Vredolf
Bis dahin hab ich das alles verstanden. Aber wie soll das ganze jetzt weitergehen??
Das Integral 1/sqrt(1+e^(2x)) muss ja noch gelöst werden und das is ja sicher auch net einfacher als das Integral von sqrt(1+e^(2x)). Gibts da irgendeinen Trick bei, wenn die Wurzel im Nenner steht??
Ich hatte das ganze eher versucht zu lösen mit hyperbolischen Funktionen.
MfG
C. Schmidt |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. März, 2002 - 01:00: |
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Ich würde es mit der Substitution x=(1/2)ln(t²-1) versuchen.
ò Ö(1+e2x) dx = ò t*(1/2)*[2t/(t²-1)] dt = ò t²/(t²-1) dt = ò 1-(1/(t²-1))dt
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. März, 2002 - 07:53: |
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Hi Christian,
Zur Lösung Deiner Aufgabe liegen sehr gute Ansätze vor.
Es ist äusserst reizvoll und lehrreich, die Rechnung voll
durchzuziehen und ein Schlussresultat anzustreben.
Hier ein tauglicher Versuch.
Wir ziehen die Hyperbolischen-Funktionen und ihre
Umkehrfunktionen, die Areafunktionen bei.
Vorerst einige Reminiszenzen darüber:
(cosh x) ^ 2 – (sinh x) ^ 2 = 1 ……………………..(1)
tanh ( ½ x ) = [cosh x –1 ] / sinh x………………... (2)
Integral des hyperbolischen cosecans aus Tabellen:
int [1 / sinh x * dx ] = ln tanh (x/2)...........................(3)
Im vorgelegten Integral I = int [ wurzel(1+e^(2x) * dx ]
substituieren wir zunächst e^x = z , dx = dz / z, sodass
I = int [wurzel(1+z^2) / z * dz erscheint.
Danach substituieren wir z = sinh u , dz = cosh u * du
Für das Integral I erhalten wir
I = int [ wurzel (1+ (sinh u)^2) * cosh u / sinh u * du ]
Wegen (1) vereinfacht sich dies zu
I = int [(cosh u)^2 / sinh u * du, nochmals (1) eingesetzt:
I = int [ {1+(sinh u ) ^2 }/ sinh u * du =
int [1 / sinh u * du ] + int [sinh u * du ] , mit (3) kommt :
I = ln tanh (u /2) + cosh u , mit (2) entsteht :
I = ln { cosh u –1 } / sinh u + cosh u:
Nun ersetzen wir den cosinus hyperbolicus gemäss (1)
Durch den sinus hyperbolicus:
I = ln { wurzel (1+(sinh u)^2) –1) / sinh u } + wurzel(1+(sinh u)^2)
Jetzt sind noch die Substitutionen rückgängig zu machen.
Es kommt der Reihe nach
I = ln {wurzel (1+z^2) – 1) / z} + wurzel(1+z^2)
I = ln {wurzel (1+e^(2x)) – 1) / e^x} + wurzel(1+e^(2x))
oder
I = ln {wurzel (1+e^(2x)) – 1)} – x + wurzel(1+e^(2x))
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MfG
H.R.Moser,megamath.
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Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. März, 2002 - 14:40: |
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Vielen Dank für die vielen Beiträge
MfG
C. Schmidt |
