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Beitrag |
    
Benni
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 11:28: | 
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Hallo!
Ich hab hier eine Aufgabe und würde gerne wissen wie man diese löst. Kann mir einer helfen?
Integral von ln(4-x²) dx
Sieht einfach aus, aber das ist sie nicht.
Danke schonmal im Voraus
MfG Benni
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Matthias (buddler)
Neues Mitglied
Benutzername: buddler
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 12:29: |
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Zunächst mal kann man die Methode der partiellen Integration anwenden:
u=ln(4-x^2), v'=1
Dann ist u'=-2*x/(4-x^2), v=x und somit
Int{ln(4-x^2)dx}= x*ln(4-x^2)+Int{2*x^2/(4-x^2)dx}
Das verbliebene Integral kann man folgendermaßen umschreiben:
Int{2*x^2/(4-x^2)dx}=-2*Int{-x^2/(4-x^2)dx}
=-2*Int{(4-x^2-4)/(4-x^2)dx}
=-2*Int{(1-4/(4-x^2))dx}
=-2*Int{(1-1/(1-x^2/4))dx}
Substituiere nun x/2=u und dx=2*du.
Man erhält:
Int{2*x^2/(4-x^2)dx}=-4*Int{(1-1/(1-u^2))du}
Der zweite Ausdruck kann als Grundintegral nachgeschlagen werden, und nach Resubstitution erhält man:
Int{2*x^2/(4-x^2)dx}=-2*x+4*arcoth(x/2)
Somit ist die vollständige Lösung:
Int{ln(4-x²)dx}=x*ln(4-x^2)-2*x+4*arcoth(x/2)+c, c reell
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Matthias (buddler)
Neues Mitglied
Benutzername: buddler
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. März, 2002 - 12:51: |
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Nachtrag: Der arcoth gilt nur für |x|>1, für |x|<1 ist er durch den artanh zu ersetzen.
arcoth(x)=ln(sqrt((x+1)/(x-1)))
artanh(x)=ln(sqrt((1+x)/(1-x))) |
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