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Anja
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 12:27: | 
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Hallo, kann mir BITTE,BITTE jemand helfen diese Aufgabe bis spätestens Montag zu lösen? Wenn´s geht mit Erklärung.BITTE BITTE BITTE.
Einer Kugel mit dem Radius r=4cm ist ein Tetraeder einzubeschreiben.Berechne den Rauminhalt sowie die Oberfläche des einbeschriebenen Körpers.
Danke
Anja |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 17:46: |
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Hallo Anja,
hoffentlich habe ich bei meinen Überlegungen keinen Fehler gemacht...
Ein Tetraeder ist ja im prinzip nur ein gleichschenkliges Dreieck über dessen Mittelpunkt in der höhe h ein Punkt ligt.
Nehmen wir an, das der Tetraedermittelpunkt der Mittelpunkt, der Kugel ist, die den Tetraeder umschreibt.
In diesem Fall müßte nicht nur der Umkreisradius des gleichschenkliegen Dreiecks beim Tetraederm, sondern auch die Höhe h des Tetraeders dem Kugelradius entsprechen.
Für die Höhe h des Tetraeders existiert eiene Formel: (wobei a die Kantenlänge ist)
h=a*(2/3)1/2
Ersetze in dieser Formel h durch r (r=Kugelradius). Stelle nun die Gleichung nach a um.
Wenn ich mich nicht getäuscht habe kommt
a=0,544 cm (gerundet) raus.
Dises a kanst du nun in die Volumen und Oberflächenformel des Tetraeders einsetzen und Damit V und O berechnen.
O=a2*31/2
V=1/12*a3*21/2
Gruß
Niels |
reinhard
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. März, 2000 - 19:22: |
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Hallo Niels!
Tut mir leid, aber in deiner Überlegung ist ein gravierender Fehler: Du hast angenommen, der Mittelpunkt der Kugel läge auf einer Seite des Tetraeders - dem ist nicht so.
Ein Tetraeder ist übrigens nicht von gleichschenkeligen, sondern sogar von gleichseitigen Dreiecken umgeben.
Ich muß zugeben, die Rechnung ist nicht allzueinfach. Ich werde versuchen, die Überlegungen möglichst einfach zu beschreiben:
Aufgrund der Symetrie liegt der Kreismittelpunkt im Schwerpunkt des Tetraeders, der sich auf der Höhe desselbigen befindet. Du hast sicher schon eine Schöne Skizze gemacht. Ich werde folgende Bezeichnungen nehmen: ein Eck der Grundfläche des Tetraeders heißt A, der Fußpunkt der Höhe heißt F, und die Spize des Tetraeders heißt S. Der Kugelmittelpunkt M liegt also irgendwo auf der Strecke FS.
Die Länge AF können wir leicht berechnen (Höhe in einem Gleichseitigen Dreieck: a/2*wurzel(3)). Der Höhenschnittpunkt teilt die Höhe im Verhältnis 1:2, also ist die Länge AF genau 2/3 der gesammten Dreieckshöhe, also AF=a/wurzel(3).
Da die Strecke AS eine Kante des Tetraeders ist, hat die Strecke AS eine Länge von a.
Die drei Ecken A, F und S bilden ein Rechtwinkeliges Dreieck. Pythagoras:
AF² + FS² = AS²
a²/3 + FS² = a²
FS² = 2a²/3
FS = a*wurzel(2/3)
FS ist ja die Höhe des Tetraeders und diese Formel hat uns Niels ja schon geschrieben.
M, also der Kugelmittelpunkt, liegt irgendwo auf der Strecke FS. Die Länge von M nach S ist genausolange wie die Länge von M nach A, da A und S Ecken des Tetraeders sind und deshalb auf der Kugeloberfläche liegen, und diese Länge MS bzw MA ist genau der Radius der Kugel.
Die Ecken A,F und M bilden auch ein rechtwinkeliges Dreieck. Pythagoras:
AF² + FM² = AM²
AM ist aber gleichlange wie SM (siehe letzen Absatz)
AF² + FM² = SM²
FM und SM zusammen ergeben die Höhe FS, also läßt sich statt FM auch FS-SM schreiben:
AF² + (FS-SM)² = SM²
die länge AF kenne wir schon: a/wurzel(3)
und die Länge FS ist a*wurzel(2/3)
a²/3 + (a*wurzel(2/3) - SM)² = SM²
a²/3 + 2a²/3 - 2aSM*wurzel(2/3) + SM² = SM²
a² - 2aSM*wurzel(2/3) = 0
a² = 2aSM*wurzel(2/3)
a/2 = SM*wurzel(2/3)
a/2wurzel(2/3) = SM
a/4*wurzel(6) = SM
SM ist aber, wie wir zuvor schon festgestellt haben, genau der Kugelradius, in unserem Fall also 4:
a/4 * wurzel(6) = 4
a*wurzel(6) = 16
a = 6,53cm
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Oberfläche ist nun 4mal Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks = 4* a²wurzel(3)/4 = a²wurzel(3) = 73,9
Volumen ist Grundfläche mal Höhe drittel.
Grundfläche ist a²wurzel(3)/4 und Höhe ist a*wurzel(2/3)
V = a³wurzel(2)/12 = 32,85
Reinhard |
Anja
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 14:37: |
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Hi Niels DANKE für deine Hilfe, auch wenn ein Fehler aufgetreten ist .
Auch dir DANKE für deine Hilfe und die Richtigstellung der Rechnung,Reinhard.
Anja |
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