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Grenzwert einer zusammengesetzen e-Fu...

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Anonym
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. März, 2000 - 12:56:   Beitrag drucken

Hallo zusammen,

vielleicht gibt es ein Verfahren, mit dem man die Grenzwerte von zus. e-Funktionen für |x|->oo erhalten kann? Weiß jemand mehr?

Beispiel: y=ehochx + x

Für x->-oo ist die Asymptote x. Wäre es aber nicht folgerichtig zu sagen, das e hoch x die Asymptote für x->oo ist, weil e hoch x schneller wächst als x, die Funktionswerte für x also keine Rolle mehr spielen? Wie sieht das mit Funktionen etwas größeren "Kalibers" aus, also z.B. e hoch (2x) + 4 xh3 -2x² +1 ?

Vielen Dank

Peter
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Ingo
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. März, 2000 - 13:22:   Beitrag drucken

Unter eine Assymptote versteht man eine Funktion a(x),der sich eine "kompliziertere" Funktion f(x) beliebig genau annähert.Die Formel dazu wäre

lim |f(x)-a(x)| = 0

Also macht es keinen Sinn zu behaupten ex wäre die Assymptote von ex+x,denn |ex+x-ex|=|x| und das wächst immer mehr an.Die beiden Graphen nähern sich also nicht an,sondern entfernen sich voneinander.Der Sinn einer Assymptote ist es aber gerade eine Näherung zu erhalten,mit der man leichter rechnen kann.
Beispiel : f(x)=sin(x) hat in ]-e;e[ die Assymptote a(x)=x.Für kleine Werte kann hier einfach die Annahme sin(x)=x getroffen werden,ohne daß der Fehler den man macht allzugroß wird.

Aber nochmal zu Deiner Grenzwert-Frage : Faustformel ist eigentlich,daß die e-Funktion im unendlichen immer überwiegt,d.h.
lim (ex+p(x)) = ¥
x->¥
für alle Polynomfunktion p(x) endlichen Grades.
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Anonym
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. März, 2000 - 14:36:   Beitrag drucken

Hallo Ingo,

danke für die Antwort. Bleibt nur noch zu klären, ob die Bedingung lim |(fx)-a(x)|=0 (welche für |x|->¥ die größere Rolle spielt, auch bei etwas komplizierteren Funktionen des Typs

f(x)=ex + 4xh4+2x+2 greift. Dem vorausgesetzt ist allerdings, das ich a(x) bereits bestimmt habe. Mein Mathelehrer verwies darauf, das solche Funktionen durch eine Reihenentwicklung auf ihr Verhalten für |x|->oo untersucht werden können. Meine Annahme: Setzt man p(x)=xh4+2x+2, und setzt man wierderum voraus, das ehochx schneller wächst als p(x), so ist doch der Grenzwert für x->oo uneigentlich. Analog dazu müßte doch dann p(x)=a(x) für x-> -oo, sein da ehochx schneller gegen Null konvergiert und daher für den Funktionswert unbedeutend wird. Richtig?

Gruß

Peter
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Franz
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. März, 2000 - 16:30:   Beitrag drucken

Asymptoten sind Geraden.
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Anonym
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. März, 2000 - 18:53:   Beitrag drucken

Hallo Franz,

nein, Asymptoten sind nicht immer Geraden. Beispiel: f(x)=(x3+2x)/(x+1).
Asymptote ist a(x)= x2-x+3

Weiteres Beispiel: ehochx - 4hochx
-4hochx=a(x) für x-> -oo
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Franz
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. März, 2000 - 22:34:   Beitrag drucken

Nach welchem Schulbuch arbeitest Du bitte?
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Ingo
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. März, 2000 - 00:10:   Beitrag drucken

Assymptoten sind nicht nur Geraden,sondern im allgemein Polynomfunktionen endlichen Grades.
Das kannst Du z.B. auf dieser Seite nachlesen(Definition 2.13)
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Franz
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. März, 2000 - 19:57:   Beitrag drucken

Herrn Riebesehl ist es hoch anzurechnen, wenn er Wirtschaftsstudenten an der Fachhochschule in Lüneburg einige Stücke aus dem mathematischen ABC in Erinnerung zu rufen versucht. Ein Standardwerk sind diese Texte jedoch nicht.

Nach längerem Suchen fand ich ebenfalls "Asymptotenkurven", bezeichnenderweise in einem Repetitorium für Ingenieure, zum Beispiel in der Form y=1/x oder e^-x!! (Von dort kennen wir ja auch Körper der Masse 1 und ähnliches.)

Abgesehen vom Literarischen sprechen auch praktische Gründe gegen solche Verunklarung: Was sollte Polynome als Näherungskurven besonders hervorheben gegenüber meinetwegen Exponential- oder goniometrischen Funktionen? Gehören auch Reihenentwicklungen hierher? Praktikabel, zum Beispiel für Grenzbetrachtungen bei Differentialgleichungen sind gerade die linearen Näherungen/Asymptoten.

Weiterhin ist für den Schulunterricht, zumindest in Mathematik, eine einheitliche Begrifflichkeit ratsam, nicht nur hinsichtlich Prüfungen. Deswegen meine Frage bezüglich Analysis-Lehrbücher.

Und bitte: Ein "s" genügt.
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Ingo
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. März, 2000 - 22:13:   Beitrag drucken

Okay,ich bin kein Lehrer und in meinem Analysis-Buch stand nur was über assymptotische Zahlenfolgen,was allerdings noch weniger geholfen hätte.
Die meißten Web-Seiten,die ich gefunden habe,sprechen in der Tat von Geraden als Asymptoten.Eine "offizielle" Definition scheint es aber nicht zu geben.
Zum Thema praktische Anwendung hab ich ja schon was geschrieben.Wenn man z.B. eine quadratische Funktion als Asymptote definieren kann,ist ihr Verlauf wesentlich leichter zu ermitteln und man kann Näherungen für z.B. Nullstellen leichter handhaben.Also für sinnlos würde ich das nicht halten,aber wie gesagt : Ich kann nicht auf irgendein Lehrbuch verweisen und liege möglicherweise auch falsch mit meiner Einschätzung...
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. März, 2000 - 10:18:   Beitrag drucken

Hallo
Also ich besitze ein
Taschenbuch der Mathematik von
BRONSTEIN, Ausgabe 1999.

Dort findet man unter dem Begriff Asymptote:

Definition. Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung ungegrenzt nähert.
Dabei kann die Annäherung von einer Seite her erfolgen (Abb.xx), oder die Kurve schneidet die Gerade dauernd (Abb. yy).



Meine persönliche Meinung:
Man sollte eigentlich immer "asymptotische Gerade" oder "asymptotische Parabel" usw. sagen.

Weil die "asymptotischen Geraden" aber (in den Schulbeispielen) viel öfter vorkommen, hat sich, durch schlampige Sprache, für sie der Begriff Asymptote eingebürgert.
Mit gleicher Berechtigung kann man aber auch einen asymptotischen Punkt (Spirale) als Asymptote bezeichnen.
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OliverK
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. März, 2000 - 14:52:   Beitrag drucken

In der Tat herrscht Konfusion über die genaue Definition des Begriffes Asymptote.

Das fängt schon damit an, das einige Lehrbücher sich einer etwas eigenwilligen Orthografie bedienen und Asymptote doch glatt mit zwei "s" schreiben. Selbst mein Lehrer sagt "Assymptote".

Ich stimme Fern in vollstem Umfang zu. Die mathematische Notation sowie eine klare Begriffsdefinition mit Hinblick auf die geometrische Veranschaulichgung einer Asymptote ist unabdingbar. Ganz elitär wäre dann z.B. "asymptotische Gerade" oder "asymptotisches Polynom 2. Grades". Letzteres finde ich für Schüler allerdings verwirrend, weswegen ich Ferns Vorschlag mit "asymptotische Parabel" schon sehr favorisiere.

Als Mitglied der DMV weckt diese Begriffsverwirrung in mir den Wunsch in den nächsten "dmv-Mitteilungen" einen Apell an die Schulbuchautoren zu starten.

Viele Grüße

Oliver
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Franz
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. März, 2000 - 21:19:   Beitrag drucken

Hallo Oliver!

Begriffliche Genauigkeit (bis hin zur Symbolik) ist tatsächlich für den Schüler wichtig. In diesem Falle sehe ich jedoch bisher weder bei Schulbüchern noch bei grundlegenden Mathematikbüchern eine Verwirrung; Asymptoten sind dort meines Wissens durchweg Geraden.

Nebenbei: Die Behauptung, daß es historisch mal anders war, bezweifle ich bis zum Erweis des Gegenteils.

Für Näherungskurven, Grenzfunktionen, singuläre Stellen von DGL und so weiter gibt es spezifische Bezeichnungen. "Asymptotische Geraden" brauchen wir deshalb meines Erachtens genaussowenig wie tangentiale Geraden, runde Kreise, flächige Quadrate und ähnliches.

Gruss F.
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Cosma
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Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 18:07:   Beitrag drucken

HILFE HILFE

Frage: Ist f mit f(x)=Ix3I soll heissen: Betrag von x hoch 3 an der Stelle 0 differenzierbar??

Bitte mit einfacher Erklärung mitsenden!
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Ingo
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Veröffentlicht am Montag, den 08. Mai, 2000 - 22:12:   Beitrag drucken

Hab ich gestern schon mal beantwortet
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Cosine
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Mai, 2000 - 00:35:   Beitrag drucken

Hi Leute!
Vorweg: Meiner Meinung nach sind Asymptoten immer Geraden, sonst hießen die Dinger Randkurven oder Grenzkurven.
Aber um die Verwirrung über Asymptoten noch größer zu machen, zwei kleine Anmerkungen zu dem Thema:
1.) Meiner Meinung nach ist y=x zwar eine gute Näherung für y=sinx in der Nähe von x=0, trotzdem kann man die Gerade nicht als Asymptote bezeichnen.
Und zwar wird im selben Beitrag gesagt, dass a(x) eine Asymptote ist, wenn
lim |f(x)-a(x)| = 0
Nunja, für x-> 0 trifft das zwar zu
( lim |sin(x)-x| = 0-0 = 0 ),
aber das würde es auch für a(x)= (-1000)*x
( lim |sin(x)-(-1000)*x| = 0-0 = 0 ),
Und dass das keine gute Annäherung ist, ist wohl allgemein verständlich.
Ich würde hier also vorschlagen, gar nicht zu versuchen, die Definition von Asymptote so umzuschreiben, dass sie hier passt, sondern einfach zuzugeben, dass man hier als Annäherung eine Tangente verwendet. (oder wer's vornehmer haben will: das Taylor-Polynom 1. Grades)
2.) Wie sieht's mit der Definition für Kurven aus, die nicht in der Form y=Funktion von x, sondern als Parametergleichungen oder mit Polarkoordinaten angegeben sind. z.B. hat die Kurve
r=1/theta (wobei r =Entfernung zu O(0|0) und theta Winkel über positive Seite der x-Achse ist)
die Gerade y=1 als Asymptote, nur ist eine korrekte Definition nicht ganz einfach.


Vorschlag zur Güte: (ist auf meinem Mist gewachsen, hab nämlich noch kein Mathe-Buch gefunden, dass so stark eingestiegen ist)

Def.1.:K sei eine Kurve, bei der x und y beide Funktion eines Parameters t sind. (Lässt sich auch problemlos auf 3dim. Kurven mit x,y,z erweitern)
Dann ist die Punktmenge G eine GRENZKURVE von K, wenn es eine Zahl a gibt, sodass

a) lim (Abstand von (x|y) zu O(0|0) ) für t-> a = +unendlich

UND

b) lim (Abstand von (x|y) zu Punktmenge G) für t-> a = 0

Def.2: Wenn eine Grenzkurve eine Gerade ist, so sagt man auch Asymptote zu ihr.

Mit diesen beiden Definitionen kann man eigendlich alle erdenklichen Fälle erschlagen. (Auch senkrechte Asymptoten, die bisher noch überhaupt nicht angesprochen wurden...)

Obwohl die Asymptotenschlägerei hier zwar schon zwei Monate her ist, musste ich einfach mal meinen Senf dazugeben. Wenn sich irgendjemand mal in diese Definition hineindenkt und einen logischen Fehler finden sollte, würde ich mich über einen Kommentar freuen.
Ich glaub, dass ist jetzt genug Zeug für halb 2 in der Nacht!
cu
Cosine
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Mai, 2000 - 12:58:   Beitrag drucken

Hallo Cosine,

Deine Definition läuft auf das Gleiche hinaus wie die von mir (oben, 3. März, in blauer Schrift) angegebene.

Sie beinhaltet sehr wohl auch den Fall von vertikaler Asymptote.

Ob man schließlich nur Gerade als Asymptoten bezeichnet oder auch andere Grenzkurven, ist kein mathematisches sondern ein semantisches Problem.
Gruß, Fern
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Mai, 2000 - 17:59:   Beitrag drucken

Hallo Fern.

Hmmm....
Ich glaube, Du hast Recht...
Vielleicht sollte ich alle Beiträge genau durchlesen, bevor ich einen Zwei-Seiten-Artikel verfasse... In der Tat, dass was Du da geschrieben hast, ist genau das, was ich sagen wollte...
okay... :-)
Ich hatte mich nur auf diese Geschichte mit lim |f(x)-a(x)| und so beschränkt und da würde eine senkrechte Asymptote ein Problem geben...
Also dankeschön! Ich verspreche bei allen weiteren Beiträgen vorher alles GENAU zu lesen, was dasteht.
Viele Grüße
Cosine
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Mai, 2000 - 18:20:   Beitrag drucken

Hi Cosine,
macht doch nichts wenn man ein Problem mehrmals durchkaut.
Dadurch ergeben sich immer wieder neue Aspekte.
Gruß, Fern
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Andre G
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Veröffentlicht am Freitag, den 13. Oktober, 2000 - 09:12:   Beitrag drucken

ich habe das mit den asymptoten noch nicht sop ganz durchblickt... wenn ich dire funktion f(x)=(x^3-24)/(x+2) habe, wie lautet dann die asymptote? und wie kommt man darauf?

ich danke euch für eure hilfe, es ist sehr wichtig für mich, das zu erfahren...
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 13. Oktober, 2000 - 12:38:   Beitrag drucken

Hallo Andre,
Du musst nur durchdividieren:
(x³-24) : (x+2) = x²-2x+4 - 32/(x+2)

Unsere Funktion f(x) it also: blauer Term - roter Term.
Der blaue Term ist eine Parabel.
Der rote Term geht für x-> Unendlich und für x-> -Unendlich gegen Null.

Für sehr große und für sehr kleine x-Werte ist f(x) also "fast" gleich der Parabel: diese Parabel nähert sich also der Kurve asymptotisch: man bezeichnet sie als Asymptote zweiten Grades oder asymptotische Parabel.
Noch etwas ist ersichtlich: Der rote Wert 32/(x+2) ist für x<-2 immer negativ und für x>-2 immer positiv.
Da dieser (rote) Wert von der Parabel abgezogen wird, um f(x) zu erhalten:
liegt f(x) für x< -2 über der Asymptote und für
x> -2 liegt f(x) unter der Asymptote.
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Christina Marxgut
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2002 - 07:20:   Beitrag drucken

Ich benötige dringend Hilfe!

Eine Polynomfunktion 4. Grades hat an der Stelle x = 0 einen relativen Extremwert und eine Nullstelle, im Punkt W(2/2) exestiert ein Wendepunkt, in dem die Wendetangente die Steigung k = 1 hat. Funktiongleichung ist gefragt!!!

Christina
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K.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2002 - 09:34:   Beitrag drucken

Hallo Christina

Die Gleichung für eine Funktion 4. Grades lautet allgemein:
f(x)=ax4+bx³+cx²+dx+e

Ihre Ableitungen sind
f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d
f"(x)=12ax²+6bx+2c

Extremum für x=0: f'(0)=0 <=> d=0
x=0 ist Nullstelle: f(0)=0 <=> e=0
W(2/2) liegt auf dem Graphen: f(2)=2: <=> 16a+8b+4c+2d+e=2 (mit d=e=0 folgt) 16a+8b+4c=2
<=> 8a+4b+2c=1
W ist Wendepunkt: f"(2)=0 <=> 48a+12b+2c=0 <=> 24a+6b+c=0
Steigung in w ist 1: f'(2)=1 <=> 32a+12b+4c+d=1
<=> 32a+12b+4c=1

Nun hast du folgendes Gleichungssystem:
(1) 8a+4b+2c=1
(2) 24a+6b+c=0
(3) 32a+12b+4c=1
Diese Gleichungssystem auflösen.
=> a=1/8; b=-3/4 und c=3/2

=> f(x)=(1/8)x4-(3/4)x³+(3/2)x²

Mfg K.

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