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Alex
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 14:44: | 
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Hallo kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen und sagen wie ich sie rechnen muss!
Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossen Fläche.
f(x)= 1/2 x hoch 3 ; g(x)= -x hoch 2 + 4x |
Justin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 18:24: |
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Hallo Alex,
da Du ja nicht genau weißt, an welchen Stellen sich die Kurven schneiden, musst Du eben als erstes die Schnittpunkte berechnen.
f(x) = 0,5*x³
g(x) = -x² + 4x
0 = 0,5*x³ - (-x² + 4x)
0 = 0,5x³ + x² - 4x
0 = x(0,5x² + x - 4)
Also steht schon mal eine Schnittstelle fest => x=0
0 = 0,5x² + x - 4
0 = x² + 2x - 8
x = -1 +/- WURZEL(1 + 8)
x1 = -1 + 3 = 2
x2 = -1 - 3 = -4
Also schneiden sich die Funktionen bei x=-4, x=0 und x=2
Um den Gesamtbetrag des Flächeninhaltes zu erhalten, musst du nun im Intervall von -4<=x<=0 für A1 und 0<=x<=2 für A2 integrieren.
F(x) = 0,125*x^4 + c
G(x) = -x³/3 + 2x² + c
A(x) = F(x) - G(x) = 0,125*x^4 + x³/3 - 2x²
Für das Intervall von -4<=x<=0 erhält man so:
A1(x) = 0,125*0^4 + 0³/3 - 2*0² - 0,125*(-4)^4 - (-4)³/3 + 2(-4)²)
A1(x) = 0 - 32 - (-64/3) + 32
A1(x) = 0 - 32 + 64/3 + 32
A1(x) = 64/3
Für das Intervall von 0<=x<=2 erhält man so:
A2(x) = 0,125*2^4 + 2³/3 - 2*2² - (0,125*0^4 + 0³/3 - 2*0²)
A2(x) = 2 + 8/3 - 8 - 0
A2(x) = -10/3
Da man nun den Betrag der Fläche wissen will, muss man die Beträge beider Flächen addieren.
A = |A1| + |A2|
A = 64/3 + 10/3
A = 74/3 = 24,667
Die Fläche beträgt also 24,667 Einheiten.
Berücksichtigt man dagegen die Vorzeichen der einzelnen Flächen, dass hat man es mit einer Fläche von 54/3 = 18 Einheiten zu tun.
Schönen Abend noch
Justin |
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