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Beitrag |
    
mailo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 09:34: | 
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also ich schnall da gar nix, kann mir da vielleicht jemand helfen?
Bestimmen Sie die Nullstellen, die lokalen Extremstellen und Wendestellen der Funktion f und zeichnen Sie ihren graphen. Berechnen Sie die Steigungen der Wendetangenten und zeichnen sie diese.
a)f(x)= 2x^3-6x+4
b)f(x)= 1/3*x^3-x^2+x
ich hab null ahnung wie das gehen soll, kann mir bitte jemand helfen? |
Anna
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 10:54: |
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Also für Extrema und Wendestellen brauchst du die 1., 2., und 3. ableitung.
nehmen wir mal aufgabe a)
f'(x)=6x^2-6
f''(x)=12x
f'''(x)=12
um die Nullstellen zu berechnen setzt du f(x)=0
du erhälst:
2x^3-6x+4=0
da es sich hier um eine funktion dritten grades handelt, mußt du die erste Nullstelle raten. d.h du setzte einfach werdte ein und schause, was heraus kommt.
f(1)= 2*1^3-6*1+4= 0
da haben wir also schon die erste.
die mußt du jetzt ausklammern (polynomdivision)
(x-1)
(2x^3-6x+4) x-1)=2x^2+2x-4
2x^3-2x^2
------------
2x^2-6x
2x^2-2x
---------
-4x+4
-4x+4
--------
0
jetzt mußt du also noch den die Nullstellen von
2x^2+2x-4 berechnen.
das geht am besten mit der p-q formel:
dazu mußt du das ganze noch durch 2 teilen, wegen der 2 vor dem x^2
=> x^2+x-2
x2/x3 = 0,5 +- srt(0,5^2-(-2)^2)
= 0,5 +- srt(-3,75)
da man keine Wurzel aus negativen zahlen ziehen kann, hat deine funktion nur eine nullstelle. bei N(1/0)
nun zu den Extrema:
da setzt du die 1. Ableitung gleich null:
=> 6x^2-6=0 /:6
=x^2-1=0 /+1
= x^2 = 1
also weißt du dass du ein extrema bei -1 und eines bei 1 hast.
jetzt mußt du noch pfüfen, ob es hoch oder tiefpkt sind, bzw. ob es sich um einen Sattelpunkt handelt, der kein extreme ist.
dazu setzt du 1 und -1 in die 2. Ableitung
f''(1)=12x=12 => da das ergebmnis positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt bei (1/0)
f''(-1)=12x=-12 => das ergebnis ist negativ und damit hast du einen Hochpunkt bei HP (-1/4)
nun zu den Wendestellen:
2.Ableitung null setzten:
12x=0
x=0
nun mußt du prüfen ob es wirklich eine wendestelle ist. also setzt du x=0 in f'''(x) ein
f'''(x)= 12 undgleich 0 also wendestelle bei:
WP(0/4)
das wars! |
Anna
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 11:02: |
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die steigung der wendetangenten ist ganz einfach. du weißt, dein wendepunkt liegt bei (0/4) also rechnest du die steigung im Punkt 0 aus d.h. du setzt ihn in die erste Ableitung:
f'(0)= -6
du weißt also, deine tangente hat im Wendepunkt die steigung -6
jetzt weißt du weiterhin deine Tangentengleichung
y= mx +c
Du weißt sie hat sie Steigung (m) -6 und geht durch den Punkt (0/4)
du erhälst
4= -6 * 0 +c
=> 4 = c
jetzt hast du also deine tangentengleichung
y=-6x+4
und die kannst du jetzt einfach in dein schaubild zeichnen.
d.h. du machst einen Punkt bei (0/4) und den zweiten rechnest du aus, für x= 2 wäre das (2/-8)
jetzt ziehst du einfach eine Gerade durch |
Friedrich Laher
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 11:03: |
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Zum zeichnen der Funktiongraphen gibt es
unter
Zeichenwerkzeuge
recht brauchbare Werkzeuge
a)f(x)= 2x^3-6x+4
0Stelle: erraten: x = 1; eine kubische Funktion kann allerdings 3 0stellen haben,
daher f(x)= 2*(x³-3x+4) = 2*u*(x-1);
das
unbekannte u nun durch Polynomdivision herausfinden; unter den --- stehen die Summe der darüberstehenden Ausdrücke
(x³ - 3x +2) : (x-1) = x² + x - 2
-x³+x² ... das ist -(x-1)*x²
------------
0 + x²-3x+2 Rest; Rest : (x-1) ungefähr = x
0 - x²+1x ... das ist -(x-1)*x
-----------
0 + 0 -2x+2 Rest; Rest : (x-1) = -2
0 + 0 +2x-2 das ist -(x-1)*(-2)
-----------
Rest 0
f(x) lässt sich also auch 2*(x²+x-2)*(x-1)
schreiben;
die 2te und 3te 0stelle sind also die Lösungen
der Quadratischen Gleichung
x²+x-2=0, also f(x) = 0 für x in {1,1,-2}
Extremwerte: dort ist f'(x)=0
f'(x)= 6x²- 6 (nach Potenzregel: (xn)'=n*xn-1)
6x²-6 = 0 für x = ±1
Maximum wenn f'' < 0, Minimum wenn f'' > 0
f''(x) = 12x, also Min. f(1) = 0, Max. f(-1) = 8
In der Wendestelle ist f''=0, also ist x=0 Wendestelle.
------------------------------------
b)f(x)= 1/3*x^3-x^2+x
f(x) = x(x²/3 - x + 1)
damit
hast Du bereits alle 3 Nullstellen, nämlich
x = 0 und die Lösungen der Gl. x²-3x+3 = 0
und
kannst wohl auch den Rest nach dem Schema von
(a) selbst erledigen? |
Anna
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 11:19: |
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ich hab da nen Fehler drin
das
x2/x3 = 0,5 +- srt(0,5^2-(-2)^2)
= 0,5 +- srt(-3,75)
da man keine Wurzel aus negativen zahlen ziehen kann, hat deine funktion nur eine nullstelle. bei N(1/0)
muß so heißen:
x2/x3 = 0,5 +- srt(0,5^2-(-2))
= 0,5 +- srt(2,25)
x2= 0,5 + 1,5 = 2 => N2(2/0)
x3= 0,5 -1,5 = -1 => N3 (-1/0)
da man keine Wurzel aus negativen zahlen ziehen kann, hat deine funktion nur eine nullstelle. bei N(1/0) |
Anna
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 11:21: |
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und der letzte satz stimmt auch nicht mehr, sorry |
mailo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 20:54: |
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wow.....das ist ganz schoen kompliziert, ihr habt euch ja beide mega die muehe gegeben, vielen dank, alleine haette ich das nie geschafft...
nochmal danke...mailo |
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