| Autor |
Beitrag |
    
Tinky Winky
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 16:24: | 
|
Folgende Aufgabe bereitetn mir Probleme:
Eine Parabel 3. Ordnung hat dieselben Achsenschnittpunkte wie y=2x-1/2X hoch 3. Beide Parabeln stehen senkrecht aufeinander. Bestimme die Parabel!
Über möglichst ausführliche Erläuterungen würde ich mich freuen.
Gruß Tinky Winky |
Lala
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 19:46: |
|
Oh, oh!!
Zunächst einmal die Achsenabschnitte der Parabel y1 = 2x - x³/2 berechnen. Das sind
1. der Schnittpunkt mit der x-Achse, d.h. die Nullstellen:
y = 2x - x³/2 = x(2 - x²/2) = 0
genau dann wenn x = 0 oder 2 - x²/2 = 0
g.d.w. x = 0 oder x = 2 oder x = -2.
2. der Schnittpunkt mit der y-Achse:
x = 0 dann y = 2*0 + 0³/2 = 0.
Es gibt also drei Schnittpunkte mit den Achsen: (0,0), (2,0), (-2,0).
In diesen drei Punkten sollen die beiden Parabeln senkrecht aufeinander stehen.
Ansatz für die gesuchte Parabel: y = ax³ + bx² + cx + d.
Die gesuchte Parabel soll dieselben Schnittpunkte mit den Achsen haben, wie die erste:
0 = a*0³ + b*0² + c*0 + d,
0 = a*2³ + b*2² + c*2 + d,
0 = a*(-2)³ + b*(-2)² + c*(-2) + d,
oder vereinfacht:
0 = d,
0 = 8a + 4b + 2c + d,
0 = -8a + 4b + -2c + d.
d = 0 in zweite und dritte Gl. einsetzen:
0 = 8a + 4b + 2c,
0 = -8a + 4b + -2c.
Diese beiden Gl. addieren:
0 = 8b, bzw. b = 0.
Dies in eine von beiden Gl. einsetzen und nach c auflösen:
c = -4a.
Die gesuchte Parabel hat also die Gestalt
y2(x) = ax³ - 4ax.
Jetzt kommt die Bedingung mit "senkrecht" ins Spiel: Die Parabeln y1(x) und y2(x) schneiden sich senkrecht in einem Punkt (r,s) heißt:
1. y1(r) = y2(r) = s
2. y1'(r) * y2'(r) = -1.
Die erste Bedingung haben wir schon verarbeitet für r = 0, 2, -2 und s = 0.
Es gilt
y1'(x) = 2 - 3/2 x²,
y2'(x) = 3ax² - 4a.
Damit
y1'(x) * y2'(x) = (2 - 3/2 x²)(3ax² - 4a).
r = 0:
y1'(0) * y2'(0) = (2 - 3/2*0²)(3a*0² - 4a) = -8a.
Dies ist -1 für a = 1/8.
Damit
y2 = x³/8 - x/2.
Was ist aber mit r = 2 und r = -2?
y1'(r) * y2'(r) = (2 - 3/2 r²)(3/8 r² - 1/2).
y1'(2) * y2'(2) = (2 - 3/2*2²)(3/8*2² - 1/2) = (-1)*1 = -1.
y1'(-2) * y2'(-2) = (2 - 3/2*(-2)²)(3/8*(-2)² - 1/2) = (-1)*1 = -1.
Puh, Glück gehabt! Die beiden Parabeln stehen also in allen drei Schnittpunkten senkrecht aufeinander.
Ich hoffe, dies hat dir geholfen! Möchte dich auch um einen Gefallen bitten: Dir als Teletubby-Fan ist doch sicherlich eine Adresse bekannt, wo es die Titelmelodie der Teletubbies als MP3-File gibt! (Ist jetzt kein Witz, brauche ich wirklich!)
Winke, winke! |
Grinsende Sonne
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 19:39: |
|
Winke winke Lala,
suche doch hier:
http://www.fortunecity.de/spielberg/waltd/22/teletubbies-seite2-.htm |
Lala
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 16:51: |
|
Super, vielen Dank! |
|
