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Charlotte
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 12:02: | 
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Hallo!
Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir helfen?!? Wär total nett!
Also, hier ist sie:
Aus einer Halbkugel (Höhe 30mm), einem Zylinder und einem Kegel (Höhe 30mm) wurde ein Körper mit einer Gesamtlänge von 150mm und einem Durchmesser von 60mm zusammengesetzt. Dieser Körper wird eingeschmolzen und in einen Zylinder mit gleichem Durchmesser gegossen. Welche Länge hat er?
Danke! Charlotte |
Michael
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 03:10: |
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hi charley! :-))
Wegen der Gesamthöhe von 150 mm muß der Zylinder 90 mm hoch sein. Da der neue Zylinder den gleichen Durchmesser haben soll, kannst Du ihn erst einmal vernachlässigen. Berechnen mußt Du nur das Volumen einer Halbkugel und eines Kegels mit d=30:
V=1/2*1/3*pi*r^2*h+4/3*pi*r^3 h=r
V=pi*r^3*(1/6+8/6)=3/2*pi*r^3
Dies Volumen muß einem Zylindervolumen entsprechen: pi*r^2*h=3/2*pi*r^3
h=3/2*r=90 mm
Damit ergibt sich eine Gesamtlänge von 180 mm! |
Charlotte
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 14:26: |
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Hi du!
Danke für deine Antwort. Am Anfang seh ich das ganze ja auch noch ein, aber wie soll denn das Volumen der Halbkugel und des Zylinders dem Zylindervolumen entsprechen? Ich blick da nicht durch. Hier ist mal meine Rechnung:
Kegel - V=1/2 pi*r(30 cm)*h (30 cm)= 42411.5 cm (ins Quadrat)
Halbkugel - V=4/3*pi*r(30cm)hoch 3= 113097,3/2
=56548,6 cm (ins Quadrat)
Wie mach ich denn daraus das Zylindervolumen? Bin schon total verzweifelt...
Charlotte |
Andi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 10:09: |
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Hallo Charlotte!
Es geht ganz einfach. Du mußt zuerst das Gesamtvolumen des zusammengesetzten Körpers berechnen. Der Körper besteht aus einer Halbkugel, einem Kegel und einem Zylinder. Du mußt Dir den gesamten Körper wie ein liegendes Rohr vorstellen, das auf der einen Seite einen runden Abschluß (Halbkugel) und auf der anderen Seite einen spitzen Abschluß (Kegel) hat.
1) Zuerst berechnen wir das Volumen der Halbkugel, so wie Du es gemacht hast. Allerdings hast Du einen Fehler mit den Einheiten gemacht. Das Volumen von Körpern wird nicht mit Quadrat...(²) sondern mit Kubik...(³) angegeben. Außerdem wurden die Maße in mm angegeben, daher müssen auch mm³ herauskommen. Aber sonst war Deine Berechenung richtig.
Das Volumen der Halbkugel ist also 56548,6 mm³.
2) Dann berechnen wir das Volumen des Kegels. Die Formel zur Berechnung eines Kegels ist:
V=(G*h)/3
G...Grundfläche = r²*Pi
=>V=(r²*Pi*h)/3
=>V=(30²*Pi*30)/3=~28274,3mm³
3) Dieser Körper besteht nun auch noch aus einem Zylinder. Der Radius der Grundfläche dieses Zylinders ist genauso wie der Radius der Grundfläche des Kegels und der Radius der Halbkugel (r=30mm).
Da wir die Länge des gesamten Körpers kennen, können wir uns die Höhe dieses Zylinders leicht ausrechnen, indem wir von der Gesamtlänge (150mm) die Höhe der Halbkugel (30mm) und die Höhe des Kegels (30mm) abziehen:
150mm-30mm-30mm=90mm
Die Höhe dieses Zylinders ist also 90mm
Nun können wir das Volumen dieses Zylinders leicht ausrechnen:
V=G*h
G...Grundfläche = r²*Pi
=>V=r²*Pi*h
=>V=30²*Pi*h=254469mm³
Das Volumen des Zylinders beträgt also 254469mm³
Um das Volumen des gesamten Körpers zu berechnen, müssen wir die Volumen der Halbkugel (56548,6mm³), des Kegels (28274,3mm³) und des Zylinders (254469mm³) zusammenzählen:
56548,6mm³+28274,3mm³+254469mm³=339291,9mm³
Damit wissen wir, daß dieser Körper ein Volomen von 339291,9mm³ hat. Da dieser Körper eingeschmolzen und daraus ein neuer Körper gegossen wird, muß der neue Körper auch ein Volumen von 339291,9mm³ haben. Bei dem neuen Körper handelt es sich laut Angabe um einen Zylinder, der den gleichen Durchmesser (d=60mm) und damit auch den gleichen Radius (r=30mm) haben muß. Wir können uns nun die Grundfläche des gesuchten Zylinders ausrechnen:
A(Grundfl.)=r²*Pi
A(Grundfl.)=30²*Pi=~2827,4mm²
Grundfläche (G)=2827,4mm²
Da wir nun das Volumen und die Grundfläche des neuen Zylinders kennen, können wir durch umformen der Formel für das Volumen die Höhe (h) berechnen:
V=G*h | /G
=>h=V/G
=>h=339291,9/2827,4=120mm
Der neue Zylinder hat also eine Höhe (bzw. Länge) von 120mm (=12cm).
Ich hoffe, ich konnte Dir damit weiterhelfen.
Liebe Grüße -
Andi |
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