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marion (Zäck)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 16:07: | 
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hi!
ich brauche dringend einen gedankenanstoss zu folgender aufgabe.
Die Ecken eines Würfels mit der KIantenlänge a werden durch Ebenen so abgestumpft, dass von je drei zusammenstossenden Kanten Stücke der Länge s wegfallen.
a) schrägbild für a=6cm und s=1.5cm
b) oberfläche und volumen des entstehenden körpers in abh. von a und s berechnen.
kann mir das ganze nicht so ganz vorstellen.
vielen dank für eure hilfe |
Andi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 23:03: |
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Hallo Marion!
Es ist nicht ganz einfach zu erklären, aber ich versuch's trotzdem.
An jeder der 8 Ecken des Würfels werden Teile in der Form einer Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche herausgeschnitten.
Die Länge einer Seite von einer Ecke der Grundfläche zur Spitze dieser Pyramide hat die Länge (s=1,5cm). Da die Seitenflächen dieser Pyramide die Form eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks hat und wir davon die Katheten kennen, können wir uns die Seitenlänge der Grundfläche dieser Pyramide mit der Formel
a=s*W(2)
W...bedeutet Wurzel aus
berechnen.
=>a=1,5*1,41=~2,12cm
Daraus können wir die Fläche dieses gleichseitigen Dreiecks ausrechnen:
A=(a²*W(3))/4
A=(2,12²*1,73)/4=~1,94cm²
Um das Volumen dieser Pyramide zu berechnen, müssen wir noch die Höhe berechnen. Dazu rechnen wir zuerst den Umkreisradius r(Umkr.) des gleichseitigen Dreiecks aus:
r(Umkr.)=a/W(3)
W...bedeutet Wurzel aus
(wenn Du nicht weißt, wie man zu dieser Formel kommt, schreib nochmal)
=>r(Umkr.)=2,12/1,73=~1,23cm
Da wir nun die Länge einer Seite von einem Eckpunkt der Grundfläche zur Spitze der Pyramide (s=1,5cm) und den Umkreisradius (r(Umkr.)=1,23cm) kennen, können wir uns mit dem Satz von Pytagoras die Höhe (h) dieser Pyramide ausrechnen:
h=W(s²-r(Umkr.)²)
W...bedeutet Wurzel aus
=>h=W(1,5²-1,23²)=0,86cm
Nun können wir uns das Volumen dieser Pyramide ausrechnen:
V=(A*h)3
=>V=(1,94*0,86)/3=0,56cm³
Da dieses Stück an jeder der 8 Ecken des Würfels fehlt, multiplizieren wir dieses Volumen mit 8:
0,56cm³*8=4,48cm³
Nun rechnen wir das Volumen des ganzen Würfels aus:
V(Würfel)=a³
=>V(Würfel)=6³=216cm³
Wir ziehen nun von diesem Volumen das Volumen der 8 Pyramiden ab:
216cm³-4,48cm³=211,52cm³
Das Volumen dieses Körpers beträgt also 211,52cm³.
Die Oberfläche dieses Körpers besteht aus 6 Quadraten, wobei bei jeder Ecke ein gleichschenkliges, rechtwinkligen Dreieck mit der Kathetenlänge (s=1,5cm²) fehlt, und 8 gleichseitigen Dreiecken mit der Fläche A=1,94cm² (oben berechnet), die an den Ecken entstehen.
Die Fläche eines Quadrats ist:
Fläche=a²
=>Fläche=6²=36cm²
Nun rechnen wir die Fläche eines dieser gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecke aus:
A(Dreieck)=s²/2
A(Dreieck)=1,5²/2=~
1,13cm²
Da dieses Dreieck an jeder Ecke abgeschnitten ist, rechnen wir diesen Wert mal 4:
1,13cm²*4=4,52cm²
Dieser Wert wird nun von der Fläche des Quadrats abgezogen:
36cm²-4,52cm²=31,48cm²
Da wir diese Fläche 6 mal haben, multiplizieren wir diesen Wert mit 6:
31,48cm²*6=188,88cm²
Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks, das an jeder Ecke des Würfels entsteht haben wir oben berechnet und beträgt 1,94cm². Da der Würfel 8 Ecken hat, multiplizieren wir diese Fläche mit 8:
1,94cm²*8=15,52cm²
Nun zählen wir diese Flächen zusammen:
188,88cm²+15,52cm²=204,4cm²
Die Oberfläche dieses Körpers beträgt also 204,4cm².
Ich hoffe, Du kannst Dir diesen Körper jetzt ein bißchen vorstellen, auch wenn es ein wenig kompliziert ist.
Liebe Grüße -
Andi |
Alfred Kubik (Fredy)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 12:16: |
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Hallo Marion, hallo Andi,
nachdem Andi seine Lösung so ausführlich dargestellt hat, möchte ich nicht auch meine Ausarbeitung hier bringen.
Es sei nur gesagt, dass ich auf das gleiche Ergebnis komme (mit ev. Rundungsdifferenzen). Ich habe allerdings nicht mit dem Umkreis, sondern mit dem Inkreis des Dreiecks gearbeitet, was einen Berechnungsschritt mehr erfordert, um die Höhe des Pyramiden-Seitendreiecks zu ermitteln.
Mit Skizzen kann man solche Aufgaben wesentlich anschaulicher machen, leider warte ich darauf, dass mir jemand erklärt, wie man das genau macht.
Ich nehme an, der Explorer von Windows 98 ME unterstützt diesen Vorgang.
Wer kennt sich mit der Darstellung von Zeichnungen und Skizzen aus??
Grüße
Fredy. |
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