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Martin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2000 - 13:22: | 
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Wie könnte man beweisen, daß bei einem gleichseitigen
Dreieck der H Ö H E 1 (Dreieck in der Höhe normiert auf eine Einheit) die Summe der (insgesamt drei) Projektionen von
einem beliebigen Punkt (P) innerhalb des Dreiecks auf die drei Seiten (dort jeweils ins Lot) wieder die Höhe des Dreiecks (in
diesem Spezialfall also wieder 1) ergibt? |
Reinhard Gruber
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2000 - 15:16: |
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Hallo Martin
Zeichne in einem gleichseitigen Dreieck ABC die Höhe auf die Seite c ein und dann einen beliebigen Punkt P innerhalb des Dreiecks und alle drei Lote. Zu zeigen ist, daß die Summe der Lote gleich der Höhe ist.
Zeichne erst eine Strecke durch den Punkt P parallell zur Seite c. Du bekommst nun ein kleineres Dreieck A'B'C. Das Lot von P auf c und der Teil der Höhe, der von dieser Strecke abgeschnitten wurde sind offensichtlich gleich lang. Es bleibt zu zeigen: die Summe der anderen zwei Lote ist gleich der restlichen Höhe. Die restliche Höhe ist übrigens offensichtlich die Höhe des Dreiecks A'B'C. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Höhen gleich lange. Also zeichne im kleinen Dreieck die Höhe auf die Seite a ein und es genügt zu zeigen, daß die Summe der zwei restlichen Lote gleich dieser Höhe auf a ist. Wenn du das Dreieck (bzw dein Heft) drehst, fällt dir vielleicht auf, daß sich das ganze wiederholt: zeiche eine Strecke durch den Punkt P parallel zur Seite a und du erhällst ein noch kleineres Dreieck A'PC'. Das Lot auf a und der Teil der Höhe von A'B'C, der in dem Trapezfärmigen Stück liegt, sind offensichtlich gleich lange. Bleibt zu beweisen, daß das dritte Lot und der Rest der Höhe gleich lange sind. Das ganz kleine Dreieck ist wieder ein gleichseitiges und das Lot auf b und die verbliebene Höhe sind beides Höhen im Dreieck A'PC', die natürlich gleich lange sind. Fertig.
Reinhard |
Martin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2000 - 16:10: |
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Herzlichen Dank!
Die Lösung ist genial, anschaulich und gut nachvollziehbar (ich hatte anfangs nur leichte Probleme mit den Seitenbezeichnungen bzw Dreieckbezeichnungen des Dreiecks)!
Auf den Trick mit den Parallelverschiebungen hätte ich kommen müssen, das ist genau der Kniff in dem Beweis, der die Information der Gleichseitigkeit nutzt und die Anwendung komplizierter Gleichungsverfahren oder Winkelsätze erspart.
Vielen Dank!
Martin |
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