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Ginny (Jollyjane)

| Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 10:24: |
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Hallo! Brauche dringend die Lösung dieser Aufgabe... Durch den Mittelpunkt einer Kugel wird ein Loch geschossen. Die Höhe des sich ergebenden Innenzylinders der Kugel beträgt 6 cm. Wie groß ist das Restvolumen dieser Kugel? (abzüglich der Kugelkappen) |
   
Justin

| Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 22:28: |
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Hi Ginny, eine wirklich interessante Aufgabe. Es scheint ja zunächst so, als ließe sich keine eindeutige Antwort sondern lediglich eine Formel für die Berechnung des Restkörpers aufstellen. In diese müsste dann die Höhe des Zylinders und eventuell des Radius des Kreises eingesetzt werden... usw. Aber nein: egal, wie groß die Kugel auch sein mag, es bleibt immer das gleiche Restvolumen übrig. Hier nun mein Lösungsweg: Das Volumen einer Kugel berechnet sich so: V(K) = 4/3 * pi * r1³ ... und das eines Zylinder so: V(Z) = pi * r2² * h r1 = Radius der Kugel r2 = Radius des Zylinders ==> nicht durcheinander bringen!!! Da h=6 sein soll, kann das Volumen für den Zylinder auch gleich so formuliert werden: V(Z) = 6*pi * r2² Nun versuche mal ein wenig Dein räumliches Vorstellungsvermögen anzustrengen: Die Punkte auf der Kugeloberfläche, die mit dem Zylinder identisch sind, haben ja alle folgende Eigenschaft: ihr Abstand vom Mittelpunkt der Kugel ist gleich dem Radius der Kugel. Dabei bilden der Radius der Kugel, der Radius des Zylinders und die halbe Länge des Zylinders ein rechtswinkliges(!!!) Dreieck. Nicht wahr? Und daraus ergibt sich das Verhältnis des Radius zur halben(!) Höhe des Zylinder (genannt h/2) und zum Radius des Zylinders (genannt r2): r1² = (h/2)² + r2² Da h=6 cm sein soll, kann man gleich einsetzen... r1² = (6/2)² + r2² = 9 + r2² Den Radius des Zylinders kann man also auch so ausdrücken: r2² = r1² - 9 Also berechnet sich das Volumen des Zylinders mit Hilfe des Radius der Kugel auf diese Art: V(Z) = 6*pi * (r1² - 9) Tja, und was ist nun mit dem Volumen des Restkörpers? Der Aufgabensteller ist auf der einen Seite Realist, weil er sagt "abzüglich der Kugelkappen", denn die werden ja beim Durchschuss abgetrennt. Auf der anderen Seite macht das die Aufgabe auch etwas schwerer, denn es gilt die beiden Kugelsegmente zu berechnen, die auf den Zylindern sitzen. Das Volumen eines Kugelsegmentes errechnet sich so: h(S) = Höhe des Segmentes V(S) = 1/3 * pi * h(S)² (3*r1 - h(S)) h(S) ergibt sich als Differenz aus dem Radius der Kugel und der halben Höhe des Zylinders. h(S) = r1 - 3 Da nun aber auf beiden Seiten ein Segment "weggeschossen" wurde, muss entsprechend das doppelte Volumen berechnet werden: V(2S) = 2/3 * pi * (r1-3)² (3*r1 - (r1-3)) V(2S) = 2/3 * pi * (r1-3)² (2*r1 + 3)) Damit ergibt sich für den Restkörper - also dem Rest, was von der Kugel nach dem goldigen mathematischen Schuss übrig blieb - folgendes Volumen: V(R) = V(K) - V(Z) - V(2S) V(R) = (4/3 * pi *r1³) - (6*pi * (r1² - 9)) - (2/3 * pi * (r1-3)² * (2*r1 + 3))) V(R) = (4/3 * pi *r1³) - (6*pi * r1² - 54 * pi) - (2/3 * pi * (r1-3)² * (2*r1 + 3))) V(R) = (4/3 * pi *r1³) - 6*pi * r1² + 54 * pi - 2/3 * pi * (2*r1 + 3)) * (r1² - 6*r1 + 9) V(R) = (4/3 * pi *r1³) - 6*pi * r1² + 54 * pi - 2/3 * pi * (2*r1³ - 9*r1² + 27) V(R) = (4/3 * pi *r1³) - 6*pi * r1² + 54 * pi - 4/3 * pi * r1³ + 6 * pi * r1² - 18*pi Man fasst nun zusammen ... - und siehe da! V(R) = 36*pi V(R) = 113,1 Und was will uns dieses Ergebnis nun sagen? Egal, welchen Durchmesser die Kugel auch haben mag: solange ihr Durchmesser größer als 6 cm ist, läßt sich ein Zylinder mit der Höhe gleich 6 cm "herausschießen". Und das witzige daran: der Restkörper der Kugel hat immer die gleiche Größe, nämlich 113,1 cm³. Bei dieser Zahl handelt es sich übrigens um das Volumen einer Kugel mit einem Durchmesser von d=6cm. Dies macht auch Sinn, denn aus einer Kugel mit d=6cm ließe sich kein Zylinder mit h=6cm mehr herausarbeiten, denn sein Radius wäre gleich Null. Einen schönen Tag wünsche ich noch :-) |
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