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Höhen- und Kathetensatz

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Geometrie » Dreidimensionale Körper » Sonstiges » Höhen- und Kathetensatz « Zurück Vor »

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Anonym
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Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 1999 - 12:12:   Beitrag drucken

Bitte helft mir bei folgender Aufgabe:

"Verwandle ein Rechteck mit den Seitenlängen 5,5 cm und 3.5 cm unter Verwendung a) des Höhensatzes b) des Kathetensatze in ein flächeninhaltsgleiches
Quadrat!

Dankeschön!
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Anonym
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Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 1999 - 22:29:   Beitrag drucken

a)
Zeichne die Seiten p=5,5 und q=3,5 in einer Strecke hintereinander. Dann halbiere die gesamte Strecke und male einen Thaleskreis durch beide Endpunkte. Eine Senkrechte zu der Strecke durch den Punkt, der beide Seiten verbindet, erzeugt die höhe h. Daraus male eine Quadrat mit Seitenlänge h und wegen dem Höhensatz gilt:
Quadratfläche h² = p q = Rechtecksfläche.

b)
Wähle nun die beiden Teilstückep=3,5 und q=2, dann gilt c=5,5.
Wie eben kannst Du mit p und q wieder die Höhe und dann die Seite a konstruieren, daraus ein Quadrat, für dessen Fläche nach dem Kathetensatz gilt:
a²=pc ..

Sorry, Formulierung ist etwas schnell gemacht. Ich hoffe, es ist dennoch verständlich!?
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anonym
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 1999 - 21:03:   Beitrag drucken

Wie rechne ich die Höhe in einem Tetraeder mit gleichen Kantenlängen aus?
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Frank
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Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 1999 - 14:07:   Beitrag drucken

Sei a die Kantenlänge des Tetraeders.
Dann gilt für die Seitenhalbierende s der Grundseite nach Pythagoras s² + (a/2)² = a², also s = a * Wurzel(3)/2. (Beachte hierbei, dass das Dreieck gleichseitig ist!)
Die Höhe H des Teraeders trifft genau im Schwerpunkt der Grundseite auf die Grundseite, und dieser teilt die Seitenhalbierende im Verhltnis 2/3.
Der Schwerpunkt hat alse eine Entfernung von e = s * 2/3 = a * Wurzel(3)/3 von einer Ecke.
Jetzt noch Mal Pythagoras: h² + e² = a². Somit h = a * Wurzel(2/3).
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Euklid
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 21:08:   Beitrag drucken

Wie beweist man den Hoehensatz mit Hilfe der Strecke die die Hypothenuse in zwei gleiche Abschnitte teilt?
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Lisa (Gölli)
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Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 10:25:   Beitrag drucken

Ich muss heute Nachhilfe geben und benötige noch einige Aufgaben zum Bereich Satz des Phytagoras. Aber nur Anwendungsaufgaben. Kann mir jemand helfen?
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 11:09:   Beitrag drucken

Hi Lisa!

Ein Klassiker:
Eine 1,97m lange Leiter wird gegen eine Wand gelehnt. Wie weit muss sie von der Wand weg aufgestellt werden, damit sie bis zu einer Höhe von 1,95m reicht?
Lösung: 0,28m


Ein Inline-Skater fährt eine Rampe hinunter. Er weiß, dass er 50m zurücklegt und dass die Länge der Rampengrundfläche (umständlich, wie?) 40m beträgt. Er möchte nun den Höhenunterschied errechnen.
Lösung: 30m


Ein 19,2m hoher Mast soll mit Hilfe von straff gespannten (geraden) Stahlseilen festgehalten werden, die im Boden verankert sind. Die Verankerungen befinden sich jeweils 22m von dem Mast im Boden. Wie lang muss jedes der Seile sein?
Lösung: 29,2m


Ein 1,65m breiter und 0,52m tiefer Schrank steht an der linken Wand eines 1,70m breiten Gangs. Nun möchte ihn der Besitzer an die rechte Wand stellen und muss ihn dazu um 180° drehen (damit die Türen immer noch zum Gang zeigen und nicht der Wand zugewandt sind).
Ist diese Drehung hier in diesem Gang möglich?
Lösung: Nein, die Diagonale (1,73m) ist größer als die Gangbreite und man würde anecken.
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 11:31:   Beitrag drucken

Tach Euklid!

Direkt zu Anfang: Im rechtwinkligen Dreieck, auf das sich der Höhensatz bezieht, wird nichts in zwei gleiche Abschnitte geteilt. Ich nehme an, du meinst p und q gemäß:

h2 = pq.

Der obige Satz soll nun hergeleitet werden. Da wir uns in einem rechtwinkligen Dreieck befinden, werden wir uns mit dem Satz des Pythagoras behelfen.

Das Dreieck ABC (c = Hypothenuse) wird von der Höhe h in zwei kleinere rechtw. Dreiecke unterteilt, so dass gilt:

h2 = a2 - p2 und
h2 = b2 - q2.

Wir addieren beide Gleichungen und erhalten:

2h2 = (a2 - p2) + (b2 - q2)

Nun gruppieren wir das Ganze etwas anders:

2h2 = (a2 + b2) - (p2 + q2)

Wir wissen aber nach Pythagoras: a2 + b2 = c2. Also setzen wir diese Beziehung ein:

2h2 = c2 - (p2 + q2)

Andererseits wissen wir, dass p und q Teilstücke von c sind: c = p + q. Also setzen wir dies auch ein:

2h2 = (p + q)2 - (p2 + q2)
= p2 + 2pq + q2 - (p2 + q2)
= p2 - p2 + 2pq + q2 - q2
= 2pq

Wir teilen jetzt nur noch durch 2 und erhalten:

h2 = pq q.e.d.
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Euklid
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Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 13:27:   Beitrag drucken

Nein Martin, die Höhe h teilt die Hypothenuse c in p&q, ich meinte aber noch eine Strecke, die die Hypothenuse c in zwei gleiche Abschnitte teilt, und somit einen Dreieck im Dreieck DCM bildet.Diese strecke soll c/2 sein. Wie beweist man den Höhensatz mit Hlfe von DCM?
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Sascha (Saschamaaß)
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Veröffentlicht am Samstag, den 03. März, 2001 - 15:18:   Beitrag drucken

Beweis des Höhensatztes mit Hilfe des Dreiecks DMC:
(Ich gehe von den allgem. Abkürzungen für ein Dreieck aus.)

Winkel Gamma ist gleich 90° (da es sich ja um ein rechtwinkliges Dreieck handelt) => C liegt auf dem Thaleskreis über der Strecke AB => MC = AM = MB
Nun wenden wir Pythagoras im Dreieck DMC an:
MC²=DM²+h²
Da wir oben bewiesen haben, dass MC=MB, können wir jetzt statt MC MB schreiben:
MB²=DM²+h²
Umformen:
h²=MB²-DM²
3.bin.Form.!!!:
h²=(MB-DM)*(MB+DM)
Das erste MB (also das in der ersten Klammer) ersetzen wir nun durch AM (das dürfen wir, weil wir dies (s.o.) mit dem Thaleskreis bewiesen haben). Dann haben wir:
h²=(AM-DM)*(MB+DM)
Wenn Du dir das ganze jetzt zeichnen tust, wird wohl einfacher nachzuvollziehen sein, dass AM-DM dasselbe wie q und MB+DM dasselbe wie p ist! Also kann ich auch anstatt AM-DM q schreiben und statt MB+DM p. Also ergibt sich:
h²=q*p
Und das ganze noch in die richtige Reihenfolge gebracht ergibt dann den Höhensatz des Euklid:
***** h²=pq ***** quod eram demonstrandum *****

!!! MB, MC usw. sind STRECKENANGABEN, die normalerweise mit Strich über den Buchstaben und mit Betragsstriche geschrieben werden, einzigste Ausnahme bildet AB, hier fallen die Betragsstriche Weg (frag mich bitte nicht warum, ich weiß auch nicht ob das Betragsstriche sind, sehen auf jeden Fall genauso aus! Und für den Beweis dürfte das eh keine Rolle spielen! !!!
Und noch ein Tipp zum Konstruieren: Der Thaleskreis ist der Kreis mit dem Mittelpunkt der Strecke AB und dem Radius AM; d.h. also, du setzt den Zirkel in der Mitte von AB an und zeichnest so, dass du die Punkte A&B triffst.

PS: Wäre ganz nett, wenn das sich noch jemand anderes angucken und kontrollieren könnte, dürfte aber so eigentlich stimmen!

MfG Sascha
sascha_maass@t-online.de
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Euklid
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 22:15:   Beitrag drucken

Vielen Dank Sascha, soweit es mir bekannt ist, ist die Lösung o.k. Ich habe zwar einen anderen Lösungsweg gefunden, aber im Prinzip sieht er dienem ähnlich.
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Stefan (Medionmoench)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 26. August, 2001 - 15:34:   Beitrag drucken

Hallo.

In Martins Beeweis zum Höhensatz kann nicht verstehen, durch welche Operationen er von
2h2 = (a2 - p2) + (b2 - q2)
zu
2h2 = (a2 + b2) - (p2 + q2)
kam.
Bitte erklärt es mir. Es ist mir sehr wichtig den ganzen Beweis zu verstehen.

Danke im Vorraus!
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 26. August, 2001 - 16:11:   Beitrag drucken

Das ist nicht besonderes!
Ich schreibe doch, dass wir das einfach nur umgruppieren. Damit meine ich, dass ich zuerst die Klammern auflöse (Assoziativgesetz), die vier Variablen umstelle (Kommutativgesetz) und wieder Klammern setze (wieder Assoziativgesetz).
Der sinn des Ganzen:
Ich möchte a2 + b2 in einer Klammer haben, um zu verdeutlichen, dass diese Summe gemäß Pythagoras c2 ergibt.

Hier dasselbe in Einzelschritten:
2h2 = (a2 - p2) + (b2 - q2)

2h2 = a2 - p2 + b2 - q2 (Klammern auflösen --> Assoziativgesetz)

2h2 = a2 + b2 - p2 - q2 (umstellen --> Kommutativgesetz)

2h2 = (a2 + b2) - (p2 + q2) (wieder Klammern setzen --> Assoziativgesetz)


Tut mir leid, wenn ich Dich verwirrt habe, aber da steckt wirklich keine höhere Philosophie hinter.

Viel Glück beim Nachvollziehen!

Martin
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Stefan (Medionmoench)
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Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 21:19:   Beitrag drucken

Hallo!

Ich brauche nun (leider sehr dringend) einen Beweis zum ersten Teil des Kathetensatzes(in form des Beweises von Martin, oben). Ich konnte a²=c*p UND b²=c*q herleiten, jedoch nicht NUR a²=c*p.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Vielen Dank,
Stefan
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Stefan (Medionmoench)
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Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 21:22:   Beitrag drucken

Hallo!

Ich brauche nun (leider sehr dringend) einen Beweis zum ersten Teil des Kathetensatzes(in form des Beweises von Martin, oben). Ich konnte a²=c*p UND b²=c*q herleiten, jedoch nicht NUR a²=c*p.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Vielen Dank,
Stefan
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Sternenstaub
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Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 17:42:   Beitrag drucken

Hallo Stefan,

ich möchte mich jetzt nicht in Eure schon so lange Diskussion einmischen, aber da Du den Beweis dringend brauchst: Öffne doch noch einen neuen Beitrag und fasse darin zusammen, was "bisher geschah", da wahrscheinlich viele, wie ich, keine Lust haben, alles erst durchzulesen.

Grüsse

Sternenstaub
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Phoenix
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. März, 2002 - 09:07:   Beitrag drucken

Hilfe, ich brauche dringend die Lösung folgender Aufgabe:
(Höhensatz)
Berechne für eine quadratische Pyramide mit den Kanten a und s und der Körperhöhe h die fehlende dritte Größe:
s= 18 cm, h= 10cm
Kann mir jemand helfen?
Tschüs Phoenix
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Phoenix
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. März, 2002 - 09:12:   Beitrag drucken

Hi, habe noch eine Aufgabe zu lösen:
Berechne den Oberflächeninhalt einer quadratischen Pyramide mit s=18cm und h= 10cm.
Danke.
Phoenix
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Murphy (murphy)
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Junior Mitglied
Benutzername: murphy

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. März, 2002 - 14:23:   Beitrag drucken

Lieber Phoenix,
1.) Diagonale der Grundfläche = d
d²/4 = s² - h² = 324 - 100 = 224
d = 29,9
Quadratseite a
d² = 2 a² >>> a² = 448 >>> a = 21,17 cm
2.) O = a² + 4* a/2*ha [ha = Höhe der Dreiecksseite]
ha² = s² - a²/4 >>> ha = 14,56
= = 448 + 10,585 * 14,56 = 1040,76 cm²
Gruß A.
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Justyna
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2007 - 14:07:   Beitrag drucken

hi könnt ihr mir mal helfen? hab hier ne aufgabe und kann sie nicht lösen:

Konstruiere mit Hilfe des Höhensatzes ein Quadrat das zum Rechteck mit den Seiten a=7cm b=3.5 cm flächeninhaltsgleich ist.


also muss das zeichnen ..aber keine ahnung wie ôo
pls schnelle antwort muss das für morgen haben

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