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Beweis des Höhensatzes h=(a*b)/c...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 8-10 » Geometrie » Dreiecke » Beweise » Beweis des Höhensatzes h=(a*b)/c « Zurück Vor »

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Jan
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 14:12:   Beitrag drucken

Ich muss für Mathematik den Höhensatz h=(a*b)/c beweisen (für ein rechtwinkliges Dreieck). Hoffentlich kann mir einer von euch dabei helfen. Es reicht auch ein Tipp, mit welchen anderen Sätzen ich arbeiten muss und wie ich ungefähr vorgehen muss.

Jan
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doris
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 14:45:   Beitrag drucken

Hallo Jan, leider kann ich Dir kei Bild mitsenden. Ganz so begriffen habe ich es noch nicht, wie das geht. Aber ich versuche die Herleitung eben so. Zeichne Dir ein rechtwinkliges Dreieck ABC und bezeichne jeweils die Hypotenusenabschnitte mit p und q. Es soll eine Gleichung gelten, in der h^2 enthalten ist. Da h in den 2 Teildreiecken jeweils Kathete ist, ist es naheliegend auf diese Teildreiecke jeweils den Satz des Pythagoras anzuwenden.
Bezeichne den Fußpunkt der Höhe h auf der Hypotenuse mit D. Dann gilt in dem Teildreieck ADC b^2=h^2+q^2 und in dem Teildreieck DBC gilt a^2=h^2+p^2
Addiere beide Gleichungen, dann erhälst Du a^2+b^2=2*h^2+p^2+q^2. (*)
In dem Dreieck ABC gilt a^2+b^2=c^2. (**)
Nun ist c=p+q.
Dann ist c^2=(p+q)^2=p^2+2*p*q+q^2 (***)
Die beiden Gleichungen (*) und (**) kann ich gleichsetzen:
2*h^2+p^2+q^2=c^2
Für c^2 kann ich jetzt (***) einsetzen:
2*h^2+p^2+q^2=p^2+2*p*q+q^2
Ich subtrahiere auf beiden Seiten jeweils p^2 und q^2:
2*h^2=2*p*q
Dividiere durch 2:
h^2=p*q.

Ich denke, das war's. Hoffentlich hat sich der "Tippteufel" nicht eingeschlichen.
Ansonsten hoffe ich, Dir geholfen zu haben.
Viele Grüße
Doris
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Lerny
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 11:01:   Beitrag drucken

Hallo Jan

ein anderer Lösungsversuch

Im rechtwinklingen Dreieck gilt der Höhensatz
h²=p*q und die Kathetensätze
a²=p*c und b²=q*c

Aus a²=p*c folgt p=a²/c
und aus b²=q*c folgt q=b²/c

Dieses einsetzen in
h²=p*q folgt
h²=(a²/c)*(b²/c)=(a²*b²)/c² und damit
h=(a*b)/c

Fertig.

mfg Lerny

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