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Nils Sondermann (Therealb)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 18:39: | 
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Ich habe ein Problem beim berechnen von Nullstellen.
Ich verstehe nicht wie man z.B.
von 0=x²-12x+45_____
auf x2/x3=6+-\/36-45'
kommt.
Danke im voraus |
Lars (Thawk)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 19:41: |
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Hallo Nils.
Fürs Errechnen quadratischer Gleichungen gibt es eine Formel, die du einfach auswendig lernen musst (genannt "p-q-Formel"). Damit kommt man genau auf das Ergebnis, nur dass es eigentlich heißt "x1/x2" und nicht "x2,x3".
Man geht von der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung aus:
x2+px+q = 0
Auf diese Form musst du also deine Gleichung bringen, bevor du die p-q-Formel anwenden kannst. p und q sind in der Gleichung Formvariablen, werden also im speziellen Fall durch Zahlen ersetzt (bei dir -12=p und 45=q).
Jetzt kommt die p-q-Formel:
-allgemein: x1,2= -(p/2) +- Ö( (p/2)2 - q)
-im speziellen an deinem Beispiel: (p=-12; q=45):
x1,2 = - (-12/2) +- Ö( (-12/2)2 - 45)
Wenn du das weiter ausrechnest erhälst du:
<=> x1,2 = 6 +- Ö(36-45)
<=> x1,2 = 6 +- Ö(-9)
So - und das ist das Ergebnis aus deiner Aufgabe! Weil du in der Menge der Reellen Zahlen keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen darfst, ist diese Gleichung nicht lösbar - die Funktion hat also keine Nullstellen.
Wenn du noch Fragen hast, frag!!
Ciao,
Lars |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 20:08: |
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Ich nehme an du kennst die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen nicht.
Deshalb zeige ich dir die Methode der quadratischen Ergenzung und dann die allgemeine Formel; das ganze schneidet auch das Gebiet der komplexen Zahlen, weil dein Beispiel das verlangt.
Zunächst die Gleichung 3*x²-12*x+9=0:
Zuerst teilst du durch 3: x²-4*x+3=0.
Dann suchst du ein Binom (x+k)², so dass dieses Binom die ersten beiden Summanden ergibt: (x+k)²=x²+2*k*x+k²; 2*k=-4 => k=-2 Das Binom lautet (x+(-2))²; ausserdem: k²=4.
Der Trick ist jetzt folgender: du zählst k² dazu und ziehst es gleichzeitig wieder ab; so bleibt deine Gleichung richtig und du kannst es etwas zusammenfassen: x²-4*x+4-4+3=0 => (x²-4*x+4)-1=0 => (x-2)²-1=0 => (x-2)²=1
Daraus kannst du die Wurzel ziehen, musst aber einen Betrag berücksichtigen: |x-2|=Ö1=1.
Es ergeben sich daraus zwei Gleichungen: x-2=1 => x1=3 und x-2=-1 => x2=1.
Beide Lösungen sind auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung 3*x²-12*x+9=0, wie man durch einsetzten leicht herausfindet.
Die allgemeine Lösungsformel erhält man, wenn man die Gleichung a*x²+b*x+c=0 mit obiger Methode lösen will; das schenck ich mir mal, aber du kannst das ja zur Übung machen.
Die Lösungsformel lautet dann: x1=(-b-Ö(b²-4*a*c))/(2*a) und x2=(-b+Ö(b²-4*a*c))/(2*a) oder zusammengefast: x1/2=(-b±Ö(b²-4*a*c))/(2*a)
Bei deinem Problem schlieslich ist a=1, b=-12 und c=45; also nach Formel: x1/2=(-(-12)±Ö((-12)²-4*1*45))/(2*1)=(12±Ö(144-180))/2=6±Ö(-36/4)=6±Ö(-9)
Wenn xÎR, dann gibt es dafür keine Lösungen; falls xÎC dann ist 6+3*i und 6-3*i Lösung, wobei i=Ö-1 (was in R nicht geht, in C aber sehrwohl.)
Da du dein Problem unter Kurvendiskussion hingestellt hast, nehme ich an dass du das für Funktionen brauchst; man Funktionentheorie zwar in C betreiben, aber das ist eigentlich Universitätsniveau. Also hat dein Problem, das wahrscheinlich in R betrachtet werden muss, keine Lösung, die in R gültig ist. |
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