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Beitrag |
    
Sarah
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 14:44: | 
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Wer hilft mir ?
Die Mantelfläche M eines Kegels ist fünfmal so groß wie seine Grundfläche. Gib die Mantellinie s und das Kegelvolumen V in Abhängigkeit vom Radius r an.
Ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und Winkel alpha gleich 30 Grad wird um die kleine Kathete ( die große Kathete,die Hypotenuse)
gedreht. Drücke das Volumen V und den Oberflächeninhalt O des entstandenen Körpers durch c aus.
Vielen Dank
Sarah |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 16:48: |
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Hallo Sarah,
für einen geraden Kreiskegel gelten die Formeln
Mantelfläche M=pi*r*s
Grundfläche G=pi*r²
Mantellinie s=Ö(r²+h²)
Volumen V = 1/3*pi*r²*h
Oberfläche O=pi*r*(r+s)
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann ist
für a)
M=5G => pi*r*s=5*pi*r² => s=5r
Höhe h=Ö(s²-r²)=Ö(25r²-r²)=Ö(24r²)=Ö24r
Und nun zu b)
In dem rechtwinkligen Dreieck ist alpha=30°, beta=60° und gamma=90°.
Mit dem Sinussatz a:sin(alpha)=b:sin(beta)=c:sin(gamma) erhält man dann
a=1/2*c und b=Ö3/2*c
Wird das Dreieck um die Kathete a gedreht, so entsteht ein Kegel mit der Höhe a, dem Radius b und der Mantellinie c. Also ist
V=1/3*pi*b²*a=1/8*pi*c³
O=pi*b*(b+c)=Ö21/4*pi*c²
Wird das Dreieck um die Kathete b gedreht, so entsteht ein Kegel mit der Höhe b, dem Radius a und der Mantellinie c. Also ist
V=1/3*pi*a²*b=Ö3/24*pi*c³
O=pi*a*(a+c)=3/4*pi*c²
Wird das Dreieck um die Hypothenuse c gedreht, so entsteht ein Doppelkegel.
Die Höhe von c in einem rechtwinkligen Dreieck ist h=ab/c. Also hier h=Ö3/4*c
Wenn man die üblichen Bezeichnungen p und q für die Hypothenusenabschnitte nimmt, so hat man einen Kegel mit der Höhe q, dem Radius h, der Mantellinie b und einen zweiten mit der Höhe p, dem Radius h und der Mantellinie a.
Das Volumen ist die Summe der Einzelvolumen:
V=1/3*pi*h²*p+1/3*pi*h²*q=1/3*pi*h²*c=1/16*pi*c³
Die Oberfläche des Doppelkegels ist die Summe der einzelnen Mantelflächen:
O=pi*h*b+pi*h*a=Ö21/16*pi*c²
Die einzelnen Rechenschritte mußt du selbst ausführen. Mal sehen, ob ich mich verrechnet habe ;-) |
Michael
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 16:57: |
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Mantelfläche Fm=2*pi*r*s
Grundfläche Fg=pi*r²
Fm = 5*Fg
2*pi*r*s=5*pi*r²
s=5/2*r !!!
Kegelvolumen V = 1/3*pi*r²*h
Zeichne das gleichschenklige Dreieck mit Schenkel s, Höhe h und Grundseite 2r! ==>Pythagoras ==>
h²=s²-r² ==>h=wurzel(s²-r²) s einsetzen
h=wurzel(25r²/4 - r²)=wurzel(21r²/4)=r/2 *wur.(21)
éinsetzen!
V=pi*r³*wurzel(21)/6
Ich hoffe, ich habe nichts vergessen!! :-))
2. Aufgabe: Da Alpha=30° ist, muß a die kleinste Seite sein! (wg. Winkelsumme = 180°)==>Drehung um a! Rotationskörper ist Kegel mit h=a und Grundseite = 2b
V=Grundfläche*Höhe/3=pi*b²*a/3
sin alpha = a/c = 1/2 bei 30°
==> a = c/2
cos alpha = b/c = wurzel(3)/2
==> b = c*wurzel(3)/2
einsetzen
V = pi*c³/8 !!!
Oberfläche O = Mantelfläche + Grundfläche
Mantelfläche Fm = 2*pi*r*s laut Zeichnung ist
r=b=c*wurzel(3)/2 und s=c
Grundfläche ist Fg=pi*r²=pi*c²/3 einsetzen!
O = 2*pi*c²*wurzel(3)/2 + pi*c²/3 ausklammern!
O = pi*c²*(wurzel(3)+1/3) !!!
Die Drehung um b geht analog, aus der Zeichnung kannst du entnehmen, was r und was s ist!
Drehung um c ergibt einen Körper aus 2 Kegeln mit
1. Höhe h=p (Hypothenusenabschnitt), s=b und dem Radius r=h (Höhe hc des Ausgangsdreiecks!!)
2. Höhe h=q (2. Hypothenusenabschnitt!!), Rest wie unter 1.!
Sieht kompliziert aus, ist es aber eigentlich nicht. Du mußt nur die Dreieckshöhe bestimmen:
h=b*sin30=b/2 Achtung, die ist die Dreieckshöhe, nicht verwechseln! Sie entspricht dem Radius der Grundfläche!
V = 1/3 * Grundfläche *(Höhe1 + Höhe2)
V = pi*b²/12 *(p+q) p+q=c und b=c*wurzel(3)/2
einsetzen
V = pi*3*c²*c/24 = pi*c³/8 !!!
Wenn du bis hierhin folgen konntest, dürfte die Oberfläche kein Problem mehr sein. Sie besteht hier nur aus den Mantelflächen der beiden Einzelkegel!
O = 2*pi*r1*s1 + 2*pi*r2+s2
O = 2*pi*(r1*s1+r2*s2) r1=r2=b/2=c*wurzel(3)/2
O = pi*c*wurzel(3)*(a+b)
O = pi*c*wurzel(3)*c/2*(wurzel(3)+1)
O = pi*c²*(3+wurzel(3)) !!!!
Mannomann, das war eine Menge Rechnerei! Ich hoffe, ich habe keine Fehler eingebaut!
Michael |
Sarah
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 16:38: |
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Danke schön, ihr beiden. Habt mir sehr geholfen!!
Grüße, Sarah |
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