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Katharina

| Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 13:30: |
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Ich brauche ganz dringend den Beweis folgendes Satzes: Jede kubische Funktion hat genau einen Wendepunkt und ist dazu punktsymmetrisch. |
   
Frank (Norg)

| Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 15:15: |
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Hallo. Allgemeine kubische Funktion: f(x) = a*x3 + b*x2 + c*x + d. Ableitungen: f'(x) = 3a*x2 + 2b*x + c, f''(x) = 6a*x + 2b, f'''(x) = 6a. Erster Teil: Einen Wendepunkt gibt es nur dann an der Stelle xw, wenn f''(xw)=0. Diese Gleichung hat immer genau eine Lösung , wenn a¹0, außerdem ist dann auch die Bedingung f'''(xw)¹0 erfüllt. |
   
H.R.Moser,megamath.

| Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 20:45: |
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Hi Katharina Ich führe Dir den Beweis des zweiten Teils vor. Er benötigt einen gewissen Rechenaufwand, der sich jedoch lohnt Wir geben zuerst die Koordinaten xw und yw des (einzigen)Wendepunktes W der kubischen Funktion an: xw = - b / (3a), durch Einsetzen diese Wertes in die Funktionsgleichung y = y(x) kommt: yw = 2 b^3 / (27 a^2) - bc / (3a) + d Jetzt führen wir eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems durch; neuer Nullpunkt ist W, die neuen Achsen und die entsprechenden neuen Koordinaten sollen mit u und v bezeichnet werden Die Transformationsgleichungen lauten: x = u + xw , y= v + yw Wir setzen dies in die Kurvengleichung ein und bekommen ihre Gleichung in den neuen Koordinaten u,v : Aus v + y. = y[u+xw] wird: v + 2 b^3 / (27 a^2)- bc / (3a) + d = = a [u - b/(3a)]^3 + b [u - b / (3a) ]^2+ c[u-b/3a] + d Wenn wir geschickt rechnen, erhalten wir die vereinfachte Gleichung in u , v: v = a u^3 + [c - b^2 / (3a)] * u ; Wir stellen mit Nachdruck fest: das quadratische Glied und die Konstante sind weggefallen; geblieben sind die ungeraden Potenzen von u auf der rechten Seite der Gleichung, was darauf hinweist, dass die Kurve punktsymmetrisch zum neuen Nullpunkt, d.h. zum Wendepunkt ist. Genau dies war zu beweisen . Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
   
Markus

| Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 15:13: |
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Kann mir jemand eine gute Lernsoftware für Mathe empfehlen??? Die Kubischen Funktionen müssten darin enthalten sein. |
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