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Firebird
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 20:47: | 
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Habe folgendes Problem :
Die sog. Strophoide ist definiert durch die Parameterdarstellung :
x = (t² - 1) / (t² + 1)
y = (t * (t² - 1)) / (t² + 1)
Bereich:
-undendlich < t < +unendlich
Danke im voraus ! |
Firebird
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 20:49: |
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Oh, habe noch was vergessen !
Bestimmen Sie die Kurvenpunkte mit horizontaler und vertikaler Tangente. Skizzieren Sie den Kurvenverlauf (im cart. Koord.System) aufgrund der erhaltenen Ergebnisse !
Danke ! |
flash gordon
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 02:24: |
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ist ja toll, du löst x(t) nach t auf und setzt es ein in y(t) und voilá! ca y est.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 10:21: |
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Hi Firebird,
Deine Frage nach Kurvenpunkten mit horizontalen und
vertikalen Tangenten ist noch nicht beantwortet.
Am einfachsten löst man diese Aufgabe, indem man
die ersten Ableitungen der Funktionen x(t) und y(t)
ermittelt .
Diese Ableitungen seinen mit x°(t) bezw. y°(t) bezeichnet.
Mit der Quotientenregel erhalten wir zunächst
x°(t) = [( t ^ 2 + 1 ) * 2 t - 2 t * ( t ^ 2 - 1)] / (t ^ 2 + 1) ^ 2 =
= 4 t / ( t ^ 2 +1 ) ^ 2 ;
Wir schreiben y(t) als Produkt : y(t) = t * x(t)
Zur Ermittlung von y° (t) verwenden wir die Produktregel
und benützen das Ergebnis für x°(t):
y°(t) = x + t * x° (t) = (t^2 - 1) / (t^2 + 1) + 4 t ^2 / (t^2 + 1)^2 =
(t ^ 4 + 4 t ^ 2 - 1 ) / ( ( t ^ 2 + 1 ) ^ 2 .
Tangenten parallel zur x - Achse
Aus der Bedingung y°(t) = 0 folgt mit der biquadratischen
Gleichung t ^ 4 + 4 t ^ 2 - 1 = 0 die positive Lösung für t^2:
t ^ 2 = - 2 + wurzel(5) , daraus t ~ (+ -) 0,48587. ;
der zugehörige x-Wert ergibt sich zu
x = [- 3 + wurzel (5)] / [ - 1 + wurzel (5)] , vereinfacht zu
x = - ½ (wurzel(5) - 1).
Ein bemerkenswertes Resultat:
der zugehörige Punkt auf der x-Achse teilt die Strecke A(-1/0) O(0/0)
nach dem goldenen Schnitt.
Tangenten senkrecht zur x-Achse.
Aus der Bedingung x°(t) = 0 folgt t = 0;
wir erhalten den vorhin erwähnten Punkt A(-1/0) als
Berührungspunkt, es ist der Kurvenpunkt mit kleinstem x-Wert.
Bemerkungen
1) Durch Elimination von t erhält man die implizite Gleichung der
Kurve:
aus (t^2-1) / (t^2+1) = x folgt t^2 = (1+x)/(1-x) und mit y^2 /x^2 = t^2
kommt
y^2= (1+ x ) / (1- x ) * x ^ 2
Die Ableitung y ' (x) ergibt sich als Quotient
y ' (x) = y ° / x° = ( t ^ 4 + 4 t ^ 2 - 1 ) / ( 4 t )
2) Die Kurve ist zur x-Achse symmetrisch;
3) Definitionsbereich: -1 < = x < 1
4) Bei x = 1 liegt ein Pol mit vertikaler Asymptote vor
5) Der Nullpunkt ist ein Doppelpunkt mit den Tangenten
y = (+ -) x
Zur Begründung setze man in y' (t) für t einmal 1 ,
ein andermal minus 1 ein.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Firebird
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 11:44: |
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Danke für die Antworten ! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 19:17: |
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Hi Firebird,
Für jede Dankesäusserung gibt es eine kleine Zugabe !
An der folgenden Eigenschaft der Strophoide wirst
Du sicher Gefallen finden:
Wir legen durch den Punkt A(-1/0) eine beliebige Gerade g,
welche die y-Achse im Punkt B(0 / b) schneidet.
Diese Gerade trifft die Strophoide in zwei Punkten
P und Q so, dass die Streckenbeziehung gilt
BP = BQ = OB.
Wir benützen nun umgekehrt diese Beziehung dazu,
die Gleichung y = y(x) der Strophoide herzuleiten
Aus der Gleichung von g : y = b * x + b und der
Abstandsbedingung x^2 + (y-b) ^2 wird der Parameter b
eliminiert, und wir erhalten mit b = y / (1+x) die Gleichung
y ^ 2 / x ^ 2 = (1 + x ) / ( 1 - x ) der Strophoide ,
die wir von früher her kennen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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