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Sven
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 22:13: | 
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INT(x^3, x, -2, 2) Ist das ergebniss 0 ??
Wenn ja warum ? Kann man flächen voneinander Abziehen ?? Ich dachte es gibt keine negativen Flächen |
Quaternion (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 22:55: |
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Das Ergebnis ist nicht null. Die meisten Computeralgebrasysteme werden hier zwar null ausgeben, doch ist diese Lösung falsch. Man darf niemals über eine Nullstelle integrieren. Da x^3 drehsymetrisch ist, ergibt sich also:
int(x^3,x,-a,a)=2*int(x^3,x,0,a)
Für a=2 ergibt sich eine Fläche von acht.
Die Lösung 0 ist nur richtig, wenn man negative Flächen zuläßt, was nicht nur mathematisch ungewöhnlich wäre, sondern keinerlei Wirklichkeitsbezug hat. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 22:56: |
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Hallo Sven,
Natürlich gibt es negative Flächen genauso wie es negative Ordinaten gibt.
Das Integral ergibt das richtige Resultat, indem es positive und negative Flächen addiert.
In der Schulmathematik werden Flächen jedoch immer positiv verstanden!
Warum dies so ist, habe ich mich auch schon oft gefragt!
Obiges Integral ist also Null.
Die Fläche musst du aber (für Schulaufgaben) mit zwei Integralen rechnen: eines von x=-2 bis 0
und das andere von x=0 bis +2.
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Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 23:14: |
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Hallo Quaternion,
Warum sollte man denn nicht über eine Nullstelle integrieren dürfen ???
Sieh dir doch mal die Definition eines (Riemannschen) Integrals an.
Negative Flächen haben genausoviel Wirklichkeitsbezug wie negative Zahlen überhaupt. |
Quaternion (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 14:33: |
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Hallo Fern
Hier kommt es ganz auf die Aufgabenstellung an. Haben wir zum Beispiel die zwei Funktionen f(x)=-x und f(x)=x vorliegen und wollen die dazwischenliegende Fläche von -2 bis 2 berechnen, wäre es unklug zu behaupten die dazwischenliegende Fläche sei null. Denn dies würde sofort den Schluß zulassen, dass beide Ausgangsfunktionen identisch seien. Formal gesehen kann man Flächen natürlich auch negativ definieren. Dies ist allerdings nur ein mathematischer Trick. Denn eine wirkliche Fläche ist nicht negativ. Negative Zahlen, sind natürlich genauso legitim wie komplexe oder natürliche Zahlen. Allerdings düfte es dir schwerfallen ein Viereck mit komplexer Fläche auf ein Blatt Papier zu zeichnen, ohne dass es möglich ist, diese Fläche auch reell-positiv zu bezeichnen. Genauso ist es mit negativ-reellen Flächen. Wenn ich mit einem Lineal z.B. die Kanten eines Quaders abmesse werde ich immer auf reell-positive Werte kommen. Du argumentierst mit der Integralrechnung. Natürlich kann und muss ein Integral machnmal negativ werden (z.B. Riemann). Der Denkfehler ist jedoch, dass es dann keine Fläche mehr beschreibt. Bei der obigen Funktion ist dies so. Die Integration kann 0 sein und dies ist zweifellos richtig. Dies heißt jedoch nicht, und dies implizierst du, dass "keinerlei Fläche" zwischen den Graphen liegt.
ciau. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 16:41: |
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Als Kompromiß vielleicht der Hinweis auf den vektoriellen Charakter von Flächenelementen dA (Betrag & Richtung) im Dreidimensionalen, womit Physik / Vektoranalysis hantieren (Sätze von GAUSS oder STOKES zum Beispiel). |
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