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walter (Fritz552)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 19:17: | 
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(1) Hilfe: Bestimmen Sie die Koeffizienten eines Polynoms 3. Grades, dass die x-Achse bei x=2 berührt und die y-Achse bei y=1 unter +45° schneidet.
(2) Geben Sie für folgende Gleichung alle Lösungen
aus 0;2pi an: tan x/2 = sin 2x |
fritz552
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 23:12: |
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Kann mir jedenfalls jemand die Bedingungen zur Bestimmung der Funktionsgleichung erklären?
Der Rest sollte kein Problem sein. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 19:46: |
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Hi Fritz,
Die gegebene goniometrische Gleichung hat im
abgeschlossenen Intervall [0, 2*Pi] vier Lösungen:
zwei an den Rändern: x1 = 0, x2 = 2*Pi ,ferner die Lösungen
x3 , x4 im Inneren, nämlich
x3 ~ 1,196 (68,53°) , x4 ~ 5,087 (291,47°).
Lösung
Wir verwenden auf der linken Seite die Halbwinkelformel
der Tangensfunktion und rechts die Doppelwinkelformel
der Sinusfunktion und erhalten:
wurzel ( [1-cos x] / [ 1+ cos x] ) = 2 sin x * cos x
Durch Quadrieren wird daraus:
[1-cos x] / [ 1 + cos x] = 4 * sin^2 x * cos^2 x....................(I)
Ersetzt man rechts sin^2 x durch (1 - cos^2 x )
= ( 1 + cos x ) * ( 1 - cos x), so haben wir
links und rechts in der Gleichung (I) den Faktor
( 1 - cos x) ; das gibt Anlass zu einer Fallunterscheidung:
1.Fall
1 - cos x = 0 , das gibt die Lösungen x1 und x2.
2.Fall
1 - cos x ist von null verschieden und kann daher in (I)
weggehoben werden
.
Es bleibt:
1 = 4 * ( 1 + cos x) ^2 * cos^2 x
Wir ziehen die Wurzel , beachten aber ,dass links 1 (nicht -1)
stehen muss, also:
1 = 2* (1+cos x) cos x oder
cos^2 x + cos x - ½ = 0
Es liegt eine quadratische Gleichung für cos x vor
Bei der Auflösung zeigt es sich, dass nur ein einziger Wert für cos x taugt,
nämlich
cos x = ½ * [ - 1 + wurzel(3) ]
Dies führt auf die oben angegebenen Lösungen x3 und x4 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 22:08: |
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Hi Fritz,
Der Ansatz für die gesuchte kubische Funktion sei:
y = a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d
Die Ableitung lautet:
y ' = 3 a x ^ 2 + 2 b x + c
Wir benötigen vier Gleichungen zur Bestimmung der
Koeffizienten a ,b ,c ,d :
(1) Die Kurve geht durch den Punkt A(2 / 0)::
0 = 8 a + 4 b + 2c + d
(2) Die Kurve berührt in A die x-Achse:
0 = 12 a + 4 b + c
(3) Die Kurve geht durch den Punkt B(0 / 1):
1 = d
(4) Die Kurve hat in B die Steigung 1 *)
1 = c
Aus diesem einfachen linearen Gleichungssystem erhält man
als Lösungen:
a = ½ , b = - 7/4 , c = 1 , d = 1 und damit die Funktionsgleichung:
y = ½ x^3 - 7/4 x ^ 2 + x + 1
*)
Anm.;
setzt man y'(0) = - 1 an statt +1,was ebenfalls der Bedingung eines
45°-Winkels mit der y-Achse entspricht,
so erhält man a = 0 und damit keine kubische Funktion.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
fritz552
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 22:21: |
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Vielen Dank für Deine hilfe, hast mir echt weitergeholfen! |
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