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Beitrag |
    
Mike Göller (Ekilog)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Februar, 2001 - 22:26: | 
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Hi Leute,
brauche die Stammfunktionen und dessen herleitungen für folgende Funktionen bis Sonntag.
1) f(x)=x*wurzel(1+x^2)
2) f(x)=(x)/(3wurzel(1+x^2))
3) f(x)=(x^2)/((1+x^3)^2) |
Michael H
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 09:21: |
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zu 1)
Integral[x*wurzel(1+x²)*dx]
Integration durch Substitution
1+x² wird durch u ersetzt
jetzt muss man dx in u umrechnen
du/dx=u'(x)=2x
==> dx=(1/(2x))*du
im Integral 1+x² durch u und dx durch [1/(2x)]du
ersetzen:
(dabei kann man das x vor der Wurzel mit dem x vor
du kürzen)
= Integral[x*wurzel(u)*((1/(2x))du]
= Integral[(1/2)wurzel(u)du]
= (1/2)Integral[u1/2du]
= (1/2)[(2/3)u3/2]+C
= (1/3)u3/2+C
Resubstitution (u durch 1+x² ersetzen):
= (1/3)(1+x²)3/2+C
f(x)=x(1+x²)1/2
F(x)=(1/3)(1+x²)3/2+C
Probe mit F'(x)=f(x):
F'(x)=(1/3)*(3/2)*(1+x²)1/2*2x
= x(1+x²)1/2 = f(x) |
Alois
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 09:47: |
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Hallo Mike,
habe Dir zeigleich mit Michael die Lösung der beiden ersten Aufgaben an Deine E-Mail-Adresse geschickt.
Gruß Alois |
Lucas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 14:27: |
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Hi Leute, habe diese Seite gerade erst entdeckt,nicht schlecht was es hier alles gibt. Ich bräuchte für folgende Funktion die Stammfunktion, wenn möglich bis Sonntag.: f(x)=sin²x THX im voraus Lucas |
Dirk
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 16:10: |
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Hallo Lucas
Integral sin²x dx = Integral sinx * sin x dx
Produktintegration
U = sinx U´ = -cos x
V´= sinx V = cos x
sin x * cosx - Integral -cos²x dx
= sinx*cosx + Integral 1 - Integral sin² x
Lösung sinx*cosx*x / 2 + C |
doerrby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 16:57: |
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Vorsicht Lukas, ich schätze, Dirk hat die Rechnung nicht bis zum Ende durchgeführt, denn mit der Produkt- oder partiellen Integration bekommst Du am Ende
0 = 0
raus. Bei diesem Integral helfen die Additionstheoreme:
cos(x±y) = cos(x)*cos(y) -+ sin(x)*sin(y)
Þ cos(x-y) - cos(x+y) = 2 sin(x)*sin(y) | x=y
Þ cos(0) - cos(2x) = 2 sin2(x)
Þ sin2(x) = ½ - ½ cos(2x)
Das integrierst Du jetzt:
® x/2 - 1/4 * sin(2x)
und verwandelst es mit dem anderen Additionstheorem
sin(x±y) = sin(x)*cos(y) ± sin(y)*cos(x) | x=y
Þ sin(2x) = 2 sin(x)*cos(x)
zurück in
x/2 - 1/2 sin(x)*cos(x) .
Probe:
( x/2 - 1/2 sin(x)*cos(x) )' = 1/2 - 1/2 ( cos(x)*cos(x) + sin(x)*(-sin(x)) )
= 1/2 - 1/2 ( cos(x)*cos(x) + sin(x)*sin(x) - 2 sin(x)*sin(x) )
= 1/2 - 1/2 ( 1 - 2 sin2(x) )
= -1/2 * (-2) sin2(x)
= sin2(x)
Gruß Dörrby |
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