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Suse
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 06:38: | 
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Ich habe ein Problem mit einer gebrochen-rationalen Funktion
--> f(x)=x/a+a+a/(x-a)
sie hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei a.
Nun die Aufgabe:
An die Funktion f sollen zwei zueinander parallele Tangenten gelegt werden.
Bestimmmen Sie die Tangentenanstiege m für die dieses möglich ist!
Berührungspunkte dieser Tangenten seien die Eckpunkte einer Strecke.
Untersuchen Sie, ob es Werte für m gibt, für die der Mittelpunkt dieser
Strecke auf der Geraden y=m*x liegt. |
Köpper (Koepper)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 13:03: |
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aus f'(x1)=f'(x2) folgt x1=2a-x2
die möglichen tangentensteigungen sind dann für alle a>0 m<1/a und für a<0 m>1/a
es existieren also zu jeder funktion der schar stets unendlich viele paarweise parallele tangenten mit den berührpunkten B1(x|f(x)) und B2(2a-x|f(2a-x)). der mittelpunkt der berührpunkte ergibt sich aus dem arithmetischen mittel der koordinaten und ist M(a|2a+2). das heißt für jede funktion der schar ist dieser punkt fest und hängt nicht von der lage der tangenten ab.
soll dieser punkt auf y=xm liegen, muß m=2+2/a sein. aus f'(x)=m ergibt sich dann
x=a+-sqrt(-a^2/(2a+1)).
damit existiert ein solches m nur für a<0.
gruß,
köpper
PS: um dich nicht vom denken abzuhalten habe ich den lösungsweg hier nur skizziert+die wichtigsten zwischenlösungen angegeben. sicher keine der ganz leichten aufgaben, aber für einen LK angemessen
;-) |
suse
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 14:55: |
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Hallo Köpper!
Danke für die Tipps! Aber der Mittelpunkt der Strecke zwischen den Berührpunkten hat die Koordinaten M(a|a+1)! (Man´muß doch nach dem addieren der Koordinaten nochmal halbieren!!)
Trotzdem Danke, hast mir sehr geholfen,
Suse |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 20:42: |
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Hi Suse,
Wenn wir Deine Aufgabe etwas unter die Lupe nehmen,
erkennen wir unerwartete Zusammenhänge und den
tieferen Sinn der Aufgabe.
Vorgegeben ist die Gleichung einer Hyperbel,
deren Mittelpunkt M der in der Aufgabe gesuchte Punkt ist.
Entfernt man durch Erweitern alle Brüche der gegebenen
Gleichung, so entsteht eine Gleichung zweiten Grades in x
und y , also liegt ein Kegelschnitt vor.
Da diese Kurve zweiter Ordnung zwei Asymptoten hat,
liegt eine Hyperbel vor.
Die erste Asymptote ist die Parallele zur y-Achse mit der
Gleichung x = a, die zweite Asymptote ist die schiefe
Asymptote mit der Gleichung y = x / a + a.,
denn der dritte Summand x / ( x - a ) in der
Gleichung strebt mit wachsendem Absolutwert von x gegen
null.
Der Schnittpunkt der beiden Asymptoten ist M (a / 1 + a).
Die Hyperbel ist bezüglich ihres Mittelpunktes zentralsymmetrisch,
daher sind die Tangenten in paarweise symmetrischen Punkten
unter sich parallel.
Die Umkehrung dieses Satzes diente als Grundlage für die
Formulierung Deiner Aufgabe.
Hoffentlich haben meine Ausführungen etwas klärend
gewirkt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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