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Tinni
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 17:45: | 
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Könnte mir wer helfen bitte?
Für welche Punkte auf auf der Hyperbel x-2y²=2 stehen die Leitstrahlen normal aufeinander?
Danke! |
uwe
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 22:15: |
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Kannst Du mal Eure Definition der Leitstrahlen aufschreiben? |
Tinni
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 10:09: |
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die Linien Von F1 F2 zu einem bestimmten punkt! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 14:54: |
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Hi Tinni,
Bei der Formulierung Deiner Aufgabe sind Korrekturen
anzubringen
1)
Ich nehme an, die Gleichung der Hyperbel laute
x ^ 2 - 2 y ^ 2 = 2
2)
Die Strecken vom laufenden Punkt P der Hyperbel
zu den Brennpunkten heissen "Brennstrahlen".
Die Bezeichnung "Leitstrahlen" ist nicht gebräuchlich
und könnte unter Umständen mit dem bei Kegelschnitten
eine wichtige Rolle spielenden Begriff der Leitgeraden
verwechselt werden
Lösung der Aufgabe
Wir bestimmen zuerst die Brennpunkte F1(e / 0 ) , F2(- e / 0)
aus den Halbachsen a und b der Hyperbel mit Hilfe der
Beziehung e^2 = a^2 + b^2.
Die Halbachsen ergeben sich durch Vergleich der gegebenen
Gleichung x^2 / 2 - y^2 = 1 mit der Standardgleichung
x^2 / a^2 - y^2 / b ^2 = 1 ; wir lesen ab:
a^2 = 2 , b^2 = 1
Daraus: e^2 = 3; mit w = wurzel(3) kommt so:
F1(w/0), F2(-w/0).
Damit die Brennstrahlen des Punktes P der Hyperbel
aufeinander senkrecht stehen, muss P auf dem Thaleskreis k
mit der Strecke F1 F2 als Durchmesser liegen
Um P zu erhalten, schneiden wir die Hyperbel mit k.
Mittelpunkt von k : Nullpunkt O des Koordinatensystems
Radius von k = OF1 = w
Gleichung von k: x^2 + y^2 = w^2 = 3.
Schnitt von k mit der Hyperbel durch Gleichsetzung von x^2:
3 - y^2 = 2 + 2 y ^2 , daraus y^2 = 1/3 und x^2 = 8/3
Wir ziehen die Wurzel und erhalten durch die
Vorzeichenkombination vier Punkte ,welche zu den
Koordinatenachsen symmetrisch liegen:
Im ersten Quadrant liegt der Lösungspunkt
P1 [wurzel(8/3) / wurzel(1/3] ; P2,P3,P4 entsprechend.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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