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Benjamin Rott (Benji)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Dezember, 2000 - 09:31: | 
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Won einem Würfel mit der Kantenlänge 2 a werden dreiseitige Pyramiden mit der Seitenkantenlänge a abgeschnitten. Berechne 1) das Volumen, 2) die Oberfläche des entstandenen Körpers.
Bei a) sind vier Pyramiden abgeschnitten.
Bei b) sind acht Pyramiden abgeschnitten.
Wer kann mir den Lösungsweg aufschreiben? |
doerrby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Dezember, 2000 - 14:23: |
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Der Würfel hat ein Volumen von V = (2a)3 = 8a3. Ich gehe mal davon aus, dass da quasi die Ecken des Würfels abgeschnitten werden. Weiterhin frage ich mich, ob die "Seitenkantenlänge" die Grundseite oder die Kanten nach oben beschreibt. Ich rechne es mal mit "Kante nach oben", dann ist eine Grundseite Wurz(2)-mal so lang, also Wurz(2)*a.
Zur Berechnung des Volumens einer solchen Pyramide benötigen wir eine Grundseite und eine Höhe. Hier ist es geschickt, nicht nach Symmetrie, sondern nach Winkeln zu gehen:
Eine Seite, die vorher zum Würfel gehörte, dient uns jetzt als Grundfläche mit der Fläche A = ½ a * a = a2 /2 (rechter Winkel an der Ecke). Die dritte "Ex-Kante" des Würfels dient als Höhe in der Formel Volumen gleich 1/3 mal Grundseite mal Höhe, also
V = 1/3 * a2 /2 * a = a3 /6
Schneidet man nun vier Pyramiden ab, so ist das übrige Volumen
VK = 8a3 - 4 * a3 /6 = (7 + 1/3) a3 ,
bei acht Pyramiden entsprechend. Bezieht sich die Seitenkantenlänge auf die Pyramidengrundfläche innerhalb des Würfels, so haben die bisher als a angenommenen Strecken nur eine Länge von a/Wurz(2), damit ist das Volumen einer Pyramide dann a3 /(12*Wurz(2)) . Diese Werte schreibe ich ab jetzt in eckigen Klammern.
Oberfläche:
Der Würfel hat eine Oberfläche von A = 6 * (2a)2 = 24a2 . Durch das Abschneiden geht ihm pro Pyramide eine Oberfläche von dreimal (wegen drei Seiten) der oben ausgerechneten Grundfläche (½ a2 [1/4 a2] ) verloren. Gleichzeitig gewinnt er die Oberfläche der gleichseitigen Pyramidenseite (die vorher im Würfel war) dazu. Davon die Höhe ist
h = Wurz( (Wurz(2)*a)2 - (½ Wurz(2)*a)2 ) = Wurz(1,5)*a
[ h = Wurz( a2 - (½ a)2 ) = Wurz(3/4)*a ] ;
mal Grundseite Wurz(2)*a [ a ] durch zwei ergibt Wurz(3) a2 /2 [ Wurz(3) a2 /4 ]
Also: OF = 24a2 - 4 * 3*½a2 + 4 * Wurz(3)/2 a2
= 24a2 - 6a2 + 2*Wurz(3) a2 = 21,4641 a2
Mit acht Pyramiden und anderer Seitenlänge entsprechend.
Gruß Dörrby |
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